Ir al contenido

publicidad

Foto

Trivial Ciencia y Tecnología Vol. V


  • Por favor identifícate para escribir un tema
  • Por favor identifícate para responder
1533 respuestas en este tema

  • Arty 16

  • Kame Sennin

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 03 nov 2007
  • Mensajes: 1.405
#31

Escrito 26 septiembre 2016 - 07:12

Arty 16: 0Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, *1Q*, 0I (1)
Baldr: 0Cn, 0F, *1HyF*, 0Cf, 0Q, 0I (1)
Dedocalloso: *1Cn*, 0F, 0HyF, 0Cf, 0Q, 0I (1)
JAVOX: 0Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, 0Q, *1I* (1)
Subrosandro 0Cn, *1F*, 0HyF, 0Cf, 0Q, I (1)

Ciencias Naturales---
Física---
Historia y filosofía---
Ciencias Formales
Química---
Ingeniería---
  • Volver arriba

  • subrosandro

  • Alquimista del cielo

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 15 mar 2008
  • Mensajes: 4.300
#32

Escrito 26 septiembre 2016 - 08:02

Cf

 

Demostrar la existencia de los números enteros a partir de los números naturales a partir de la Teoría de Conjuntos (vamos, con clases de equivalencias)


  • Volver arriba

  • hardgamer46

  • Fiel soldado de Exemptus

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 24 jun 2007
  • Mensajes: 21.960
#33

Escrito 26 septiembre 2016 - 11:50

Oh, de lo mío, aunque muy fácil. 

 

Una cosa, no estás "probando la existencia" de nada, lo que pides es construir el anillo de los enteros a partir del conjunto de los naturales. 

 

El procedimiento es el siguiente. Si N es el conjunto de los números naturales construido a partir de los axiomas de Peano, consideremos el producto cartesiano N x N. Un elemento de N x N es un par ordenado (a,b) de números naturales. Ahora, definimos la relación de equivalencia R:

 

(a,b)R(c,d) si a+d=b+c

 

Las clases de equivalencia de R son:

 

(a,b)={(c,d)∈N | (c,d)R(a,b) <--> a+d=b+c}

 

Ahora, pensemos. ¿Qué son estas clases de equivalencia? Pongamos algún ejemplo:

 

(1,3)=(3,5)=(12,14) forman parte de la misma clase de equivalencia.

(1,4)=(2,5)=(12,15) forman parte de la misma clase de equivalencia.

 

Etc.

 

Estas clases pueden ser identificados con números enteros de manera biyectiva, siendo el isomorfismo en cuestión una f: N --> Z tal que (a,b)=a-b. El primer ejemplo se corresponde con el número entero -2 y el segundo con el -3. 

 

No voy a probar que es isomorfismo porque es OBVIO.

 

Todo esto nos lleva a considerar de manera natural el conjunto cociente de R, que es la unión de todas las clases de equivalencia, que resultan ser particiones disjuntas que se corresponden unívocamente con un solo número de los enteros. Esto es, NxN/R es Z. 

 

Y de hecho lo mismo se puede hacer con los racionales desde los enteros, creo que lo he preguntado yo alguna vez. 

 

Saludos.


2rfud93.gif    zkl64y.gif    t9irky.gif


Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

  • Volver arriba

  • hardgamer46

  • Fiel soldado de Exemptus

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 24 jun 2007
  • Mensajes: 21.960
#34

Escrito 26 septiembre 2016 - 11:52

Errata: el isomorfismo f va de NxN a Z, no de N a Z. 


2rfud93.gif    zkl64y.gif    t9irky.gif


Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

  • Volver arriba

#35

Escrito 26 septiembre 2016 - 12:28


No voy a probar que es isomorfismo morfismo porque es OBVIO  TRIVIAL.

 

 

 Fixed.

 

f:NxN —> Z no es un isomorfismo, es un morfismo a secas (f(1,2) = f(2,3), por ejemplo). El isomorfismo se tiene al pasar al cociente. Y hablando del cociente, técnicamente habría que probar que la aplicación f:NxN/R —> Z (el isomorfismo de marras) está bien definida.

 

Pero eso es ya ponerse pejiguero, y todo esto por poner alguna pega y porque soy un desgraciao, quitando el detalle del isomorfismo obviamente está impecable X-D


  • Volver arriba

  • hardgamer46

  • Fiel soldado de Exemptus

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 24 jun 2007
  • Mensajes: 21.960
#36

Escrito 26 septiembre 2016 - 12:30

f:NxN —> Z no es un isomorfismo, es un morfismo a secas (f(1,2) = f(2,3), por ejemplo). El isomorfismo se tiene al pasar al cociente.

 

 

Eeeeh, sí, eso. El retraso que dirían.

 

Saludos.


2rfud93.gif    zkl64y.gif    t9irky.gif


Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

  • Volver arriba

#37

Escrito 26 septiembre 2016 - 13:09

No se dice obvio, se dice trivial. pché.


  • Volver arriba

  • subrosandro

  • Alquimista del cielo

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 15 mar 2008
  • Mensajes: 4.300
#38

Escrito 26 septiembre 2016 - 14:46

No es estrictamente correcto. No puedes utilizar la resta sin haber construido previamente los enteros. Tampoco puedes hacer un morfismo a Z porque no está construido. Vuelve a hacer la construcción sin usar la resta ni morfismos a Z y te doy el punto.


Editado por subrosandro, 26 septiembre 2016 - 14:54 .

  • Volver arriba

  • hardgamer46

  • Fiel soldado de Exemptus

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 24 jun 2007
  • Mensajes: 21.960
#39

Escrito 26 septiembre 2016 - 15:29

¿Qué le has consultado a un matemático tiquismiquis? X-D

¿Quieres que defina todas las propiedades de los enteros a partir de las clases de pares naturales? Zzz. Porque estoy en el móvil y es tarde, me voy a dormir que mañana madrugo.

Dedo, es tuya.

Editado por hardgamer46, 26 septiembre 2016 - 15:30 .

2rfud93.gif    zkl64y.gif    t9irky.gif


Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

  • Volver arriba

#40

Escrito 26 septiembre 2016 - 16:28

La pregunta es tan mía como la pereza que me da contestarla X-D

 

Sean N los números naturales con la suma habitual, NxN el producto cartesiano habitual. El 0 va a ser, por comodidad, natural. Además, sobre N tenemos la relación de orden habitual. Sobre NxN definimos la relación de equivalencia (a,b)~(c,d) sii a+d = b+c. Es trivial comprobar que es relación de equivalencia. Podemos definir el conjunto cociente A = NxN/~. A este conjunto lo vamos a denotar Z.

 

Se puede comprobar que Z está formado por:

 

— Las clases de equivalencia de los pares de la forma (1,a) con a natural y mayor estricto que 1.

— Las clases de equivalencia de los pares de la forma (a,1) con a natural y mayor estricto que 1.

— El (0,0)

 

Definamos la aplicación

 

pred: N —> N

 

dada por

 

pred(1) = 0

pred(n+1) = 1 + pred(n)

 

Consideremos asimismo por comodidad el conjunto ZZ de la siguiente forma:

 

ZZ = {a | a es natural} U {-a | a es natural y mayor que cero} = ZZ+ U ZZ-

 

donde -a no es más que un elemento formal al que hemos denotado así como podríamos haber denotado "el elemento antes conocido como número natural a con una raya delante". Nótese que ZZ+ y ZZ- establecen una partición de ZZ.

 

A cada elemento de Z le vamos a asignar un elemento de ZZ de la siguiente forma:

 

— Si es de la forma (1,a), le asignamos -pred(a).

— Si es de la forma (a,1), le asignamos pred(a).

— Al (0,0) le asignamos el 0.

 

Esto establece una biyección entre Z y ZZ. Ahora vamos a definir unas ciertas operaciones sobre ZZ, que por la biyección se trasladan trivialmente a Z.

 

SUMA

 

0 + x = x + 0 = x para cualquier x de ZZ.

 

x + y = y + x para cualquier par de elementos x,y de ZZ, y se sigue lo siguiente:

 

- Si x e y están en ZZ+: la suma es la habitual de N.

- Si x e y están en ZZ-: serán de la forma x = -a, y = -b, con lo que la suma será x+y = -(a+b).

- Si x está en ZZ+ e y en ZZ- (análogo en caso contrario, tendremos ahora x = a, y = -b):

    - Si a> b: . Entonces, x+y = min{ c | c es natural y b + c = a}

    - Si b > a:  Entonces, x+y = -(b + (-a)) y nos remitimos al caso anterior.

    - Si a = b, entonces x+y = 0.

 

Esta operación se puede comprobar que es asociativa. Con esto, hemos dotado a ZZ de una estructura de grupo abeliano aditivo.

 

PRODUCTO

 

- 0*x = x*0 = 0 para cada x en ZZ.

- 1*x = x*1 = x para cada x en ZZ.

- x*y = y*x para cualquier par de elementos en ZZ, siguiendo las reglas:

  - Si x e y están en ZZ+: x e y serán de la forma x=a,y=b, y tendremos x*y = a + x*z, donde z = pred(b).

  - Si x e y están en ZZ-: x e y serñan de la forma x= -a, y = -b y tendremos x*y = a + a*z, donde z = pred(b).

  - Si x están en ZZ+ e y en ZZ- (análogo caso contrario: x será de la forma a, y será de la forma -b, y tendremos x*y = -(a*b), dónde nos remitimos al caso anterior.

 

Con la suma y el producto, tenemos el anillo de los enteros. Todas sus propiedades salen de estas definiciones.


  • Volver arriba

#41

Escrito 26 septiembre 2016 - 16:29

Ahora que lo pienso igual me he complicado innecesariamente, pero k se io, io no soi sientifiko. Y llevo toda la noche despierto haciendo cálculos así que no rijo demasiado bien X-D X-D


  • Volver arriba

#42

Escrito 26 septiembre 2016 - 18:40

Estaba tan cerca de contestarla...


  • Volver arriba

  • JAVOX

  • MERISIENTIFIKO

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 13 sep 2003
  • Mensajes: 11.546
#43

Escrito 26 septiembre 2016 - 19:46

Estaba tan cerca de contestarla...

 

 

Yo también .Solo que no me cuadraba un signo y por no hacer el ridículo...


  • Volver arriba

  • subrosandro

  • Alquimista del cielo

  • vida restante: 100%
  • Registrado: 15 mar 2008
  • Mensajes: 4.300
#44

Escrito 26 septiembre 2016 - 21:19

¿Qué le has consultado a un matemático tiquismiquis? X-D

¿Quieres que defina todas las propiedades de los enteros a partir de las clases de pares naturales? Zzz. Porque estoy en el móvil y es tarde, me voy a dormir que mañana madrugo.

Dedo, es tuya.

 

Pues si x.D

 

Blablablabla

 

Punto para ti

 

Arty 16: 0Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, *1Q*, 0I (1)
Baldr: 0Cn, 0F, *1HyF*, 0Cf, 0Q, 0I (1)
Dedocalloso: 1Cn* 0F, 0HyF, *1Cf*, 0Q, 0I (2)
JAVOX: 0Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, 0Q, *1I* (1)
Subrosandro 0Cn, *1F*, 0HyF, 0Cf, 0Q, I (1)

 

Nueva ronda

Ciencias Naturales
Física
Historia y filosofía
Ciencias Formales
Química
Ingeniería

 

Contestación de mi amigo matemático

 

 

Una vez llegas a la clase de equivalencia [(n,m)] pueden darse tres casos: 

n=m, en cuyo caso se tiene [(n,n)]=[(0,0)]. Denotamos este elemento por 0.

n>m, en cuyo caso se tiene que [(n,m)]=[(a,0)] donde n+a=m (puede probarse la existencia de este número facilmente desde los axiomas de peano). Denotamos este elemento por a.

n<m, en cuyo caso se tiene que [(n,m)]=[(0,a)] donde a+m=n. Denotamos este elemento por -a.

 

De este modo queda ya construido el conjunto de los enteros con la salvedad que introducimos los naturales como "subconjunto" usando una aplicacion n->[(n,0)] que conservará las propiedades deseadas, como el orden o la suma cuando estás se definan.

 

No tiene porque existir de antemano el conjunto ZZ- pues no nos dices que significa -a, sin embargo con cambios de nombre ya se tendría dicho conjunto.

  • Volver arriba

#45

Escrito 26 septiembre 2016 - 21:54


Contestación de mi amigo matemático

 

No tiene porque existir de antemano el conjunto ZZ- pues no nos dices que significa -a, sin embargo con cambios de nombre ya se tendría dicho conjunto.

 

 

Técnicamente si que lo digo: es una pura construcción formal y de nomenclatura. Podría haberlo llamado a^*. Si algo me ha enseñado el álgebra es a decir "esto es formal" y ya luego preocuparme de que sirva para algo X-D

 

También digo, menudo coñazo de pregunta X-D

 

HISTORIA Y FILOSOFÍA

 

19207e37f0b5f6bb38b2b2f9326db132.jpg

 

Este señor criticó duramente las ideas de Georg Cantor sobre el infinito, y se negó durante mucho tiempo a aceptarlas (de hecho, no tengo claro si murió renegando de ellas o las acabó aceptando). ¿Quién es?


  • Volver arriba


  • Por favor identifícate para escribir un tema
  • Por favor identifícate para responder
publicidad

0 usuarios están leyendo este tema

0 miembros, 0 invitados, 0 usuarios anónimos