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Trivial Ciencia y Tecnología Vol. IV

Trivial

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1888 respuestas en este tema

  • JAVOX

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#1861

Escrito 30 junio 2016 - 22:05

Va, sacado del libro que me estoy leyendo. Va a ser un poco larga pero el que vea definiciones y cosas raras que no se asuste porque con los elementos que voy a dar la pregunta es accesible para cualquiera con matemáticas de bachillerato.

 

Ciencias formales

 

Un par de definiciones para el que no las conozca:

 

Número algebraico: Cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación algebraica (un polinomio, vaya) con coeficientes enteros.

 

Número trascendente: Número que no es algebraico

 

Por ejemplo, todos los números racionales son algebraicos. Sin embargo, si bien \sqrt{2} y \pi son ambos irracionales, el primero es claramente algebraico (solución de x^2-2=0) mientras que el segundo se puede demostrar que es trascendente. Otros ejemplos de números algebraicos son la unidad imaginaria o la raíz cúbica de 3. Otro ejemplo de trascendentes es el número "e". Sin embargo, dado un número cualquiera, es en general muy jodido saber si es trascendente o no. Sin embargo hay algunos teoremas que se pueden utilizar para saberlo en casos concretos. En particular este:

 

Teorema de Gelfond-Schneider: Sean a y b dos números algebraicos con a distinto de cero o uno y b un número no racional. Entronces a^b es trascendente

 

Vamos ahora con la historia del número e^{\sqrt{163} \pi}. Ramanudjan se aburría un día en su casa y se empezó a calcular la expresión decimal a manita de este número como un valiente y le dio algo así

 

262537412640768743,999999999999...

 

Y claro, nuestro amigo Srinivasa flipó y se dijo "¡ostias, a ver si este número tan raro formado con un par de trascendentes y un algebraico va a ser un entero!".

 

Ciertamente si eso fuera verdad molaría un cojón. Desgraciadamente no es así, y se puede demostrar que el número e^{\sqrt{163} \pi}  no solo no es entero sino que además también es trascendente.

 

Usando el teorema que puse arriba, demostrar que e^{\sqrt{163} \pi} es un número trascendente

 

Hala, a pensar :-)


Editado por JAVOX, 30 junio 2016 - 22:12 .


#1862

Escrito 30 junio 2016 - 23:13

Bueno, he de decir que he cogido mi libreta y me he puesto a intentarlo con la firme intención de hacer honor a la última pregunta del trivial, pero me ha resultado imposible...

 

Voy a abstenerme de buscar la solución, aunque ahora me reconcome, por si te da por poner pistas y nadie más contesta.



  • JAVOX

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#1863

Escrito 30 junio 2016 - 23:22

Ay, si yo pensaba que este mes tenía 31 días X-D. Bueno, en teoría debería acabarse ya el trivial, pero dado que el podio ya es imposible que cambie, si os parece dejo hasta mañana por la tarde esta pregunta por si alguien quiere intentarlo y una vez que se acierte o que llegue la hora cerramos el chiringuito.


Editado por JAVOX, 30 junio 2016 - 23:22 .


#1864

Escrito 01 julio 2016 - 02:31

¿No estás poniendo la respuesta tú mismo? Si para que a^b sea transcendente a debe ser algebraico y, un poco antes, ya dices que e es trascendente. Es decir, no algebraico.



#1865

Escrito 01 julio 2016 - 08:31

Ahí está la dificultad, tienes que convertir la base en un número algebraico



#1866

Escrito 01 julio 2016 - 10:06

Hace un par de años estuve en una conferencia sobre este número y la matemática que había detrás era brutal. Dio lugar a todo un estudio de "números casi enteros" y de las razones que los llevaban a ser "casi enteros". Precioso. ¿Qué libro estás leyendo, por curiosidad?

 

Sqrt(163) es una solución de x^2-163, por lo que es algebraico.

 

El resto del problema, lo pensaré luego que la he cagado en algo haciendo cuentas X-D
 

PD: Y aún así me da en la nariz que lo importante no es tanto Sqrt(163) como i*Sqrt(163), donde i es la unidad imaginaria...


Editado por Dedocalloso, 01 julio 2016 - 10:12 .


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#1867

Escrito 01 julio 2016 - 11:28

Dedo va bien. Y no puedo dar más pistas porque es muy fácil. Se hace literalmente en una línea.



#1868

Escrito 01 julio 2016 - 12:17

Arreglado el error.

 

-i*Sqrt[163] es algebraico por ser una de las raíces de x^2 + 163. e^{pi*i} es algebráico porque vale -1, y -1 es ráiz de x+1. Por tanto, por el teorema de Gelfond-Schneider,

 

(e^{pi*i})^(-i*Sqrt[163]) = e^{pi*Sqrt[163]}

 

es trascendente.



#1869

Escrito 01 julio 2016 - 12:21

Joder, pues estaba cerca. Yo había llegado hasta la identidad de euler pero no sabía como meter la i



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#1870

Escrito 01 julio 2016 - 13:31

Correcto Dedo. Y con esto señores finalizamos la IV edición del trivial CyT. ¡Enhorabuena a subrosandro por esa victoria!

 

Ha sido un placer jugar con todos vosotros, como siempre :)

 

Como siempre, algunos ránkings

 

subrosandro: 10Cn, 5F, 4HyF, 2Cf, 24Q, 1I (46) desismileys_0490.gif

JAVOX: 6Cn, 17F, 5HyF, 11Cf, 0Q, 6I (44) desismileys_2787.gif

hardgamer46: 2Cn, 9F, 11HyF, 9Cf, 0Q, 5I (36) desismileys_2785.gif

Salvor Hardin: 4Cn, 4F, 5HyF, 2Cf, 9Q, 6I (30)

Dedocalloso: 5Cn, 0F, 7HyF, 12Cf, 0Q, 6I (29)

Arty 16: 4Cn, 2F, 1HyF, 0Cf, 2Q, 4I (13)

spuny: 3Cn, 1F, 0HyF, 0Cf, 2Q, 8I (13)

tribal23: 2Cn, 1F, 2HyF, 0Cf, 0Q, 0I (5)

D_Smooth: 1Cn, 0F, 1HyF, 0Cf, 1Q, 0I (3)
Raven Guard: 0Cn, 0F, 0HyF, 1Cf, 0Q, 2I (3)
Baldr: 0Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, 0Q, 1I (1)
Colin Power: 1Cn, 0F, 0HyF, 0Cf, 0Q, 0I (1)
Shynobyn: 0Cn, 1F, 0HyF, 0Cf, 0Q, 0I (1)



CRACKS POR CATEGORÍAS

 

Crack de los bichos: subrosandro

 

Crack de la física: Javox

 

Crack de la historia: hardgamer46

 

Crack de las mates: Dedocalloso

 

Crack de la química: subrosandro

 

Crack de la ingeniería: spuny

 

 

¡Nos vemos en septiembre con una nueva edición!



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#1871

Escrito 01 julio 2016 - 13:34

Tal y como estipulan las reglas, el nuevo árbitro es subrosandro, trabajo que empieza ya, con el correspondiente período de propuestas de cambio para el año que viene y demás.



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#1872

Escrito 01 julio 2016 - 13:49

¿Qué libro estás leyendo, por curiosidad?

 

Nada técnico. "Los números trascendentes" de Fresán y Rué. Es de divulgación, pero mete algo de caña. A mí me lo recomendó mi jefe y me está gustando bastante. Lo edita el CSIC en una colección que tiene que se llama "¿qué sabemos de?".


Editado por JAVOX, 01 julio 2016 - 13:56 .


#1873

Escrito 01 julio 2016 - 14:59

Nada técnico. "Los números trascendentes" de Fresán y Rué. Es de divulgación, pero mete algo de caña. A mí me lo recomendó mi jefe y me está gustando bastante. Lo edita el CSIC en una colección que tiene que se llama "¿qué sabemos de?".

 

Apuntado queda, ¡gracias!



#1874

Escrito 01 julio 2016 - 21:12

Bueno, chavales, a disfrutar de las vacas los afortunados que las tengan :mrgreen:



#1875

Escrito 02 julio 2016 - 00:01

Bueno, quería buscar un hueco para escribir este mensaje.

 

La verdad es que ha sido una edición reñida. Si al empezar me hubiesen preguntado si creía que podía ganar el Trivial, hubiese contestado que ni de coña. Me resulta gracioso que más de la mitad de mis puntos son en química (lo cual es lógico, por otra parte, porque soy el único químico que queda activo en el Trivial) y tan sólo tengo dos punto en ciencias formales.

 

Creo que mi asigatura pendiente son las matemáticas. Es algo que siempre me ha gustado pero que nunca he tenido la paciencia de aprender. Sin embargo, creo que poco a poco, entre pregunta y pregunta de trivial, he ampliado mi frontera del conocimiento. Por ejemplo, gracias a la última ahora sé lo que son los números algebraicos y trascendentes.

 

El Trivial es la oportunidad de aprender un poco más de los campos que no dominamos. Una manera de compartir conocimientos de forma amena, y en el fondo de conocernos un poco mejor. Ya casi somos una chupipandi :P los merisientifikos. Además somos un grupo bastante completo, sólo hay que ver nuestras categorías fuertes. Es decir, el menda, que es químico, crack de la química (y a falta de un biólogo, de los bichos tambien) JAVOX, que es físico, es el crack de la física. Spuny, que es ingeniero, crack de la ingeniería, Dedo que es matemático, crack de las matemáticas...

 

Y será un honor de ser el árbitro de la quinta edición del Trivial de CyT. Como primera propuesta, me gustaría incluir la categoría ciencias económicas en el Trivial. Deben de estar en el mismo lugar que las otras grandes ciencias, pues su mérito es inestimable en el desarrollo de una sociedad moderna.

 

Spoiler


Editado por subrosandro, 02 julio 2016 - 00:02 .



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