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Shironeko

La paradoja de Monty Hall: El Juego de las cabras y los coches

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Shironeko PARIETINAE UMBRA

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vida restante: 100%
Me gustaría presentaros un pequeño juego. Estáis en un plató de televisión y os presento con TRES PUERTAS MAGICAS!!!

Dos de esas puertas tienen una cabra :(
Es decir, no ganais nada.

Sin embargo una de las tres puertas tiene un fantástico coche de lujo. Un ferrari.

Así pues tenemos tres puertas:

PUERTA1 ----- PUERTA2 ------ PUERTA 3


Vosotros elegís una puerta. Supongamos que elegís la puerta 2.

Yo se donde se encuentra el coche y para aumentar la tensión del programa descarto una puerta incorrecta que no sea la vuestra. Revelo que efectivamente la puerta 1 tenía una de las dos cabras.

Ahora la pregunta es: ¿Cual es la probabilidad de que la PUERTA 2 contenga vuestro premio?

Yo os ofrezco la opción de cambiar vuestra puerta o de quedaros con la PUERTA 2.
¿Cambiarías con la puerta o os quedaráis con la que tenéis?

¿Realmente hay alguna diferencia entre cambiar o quedarse?

----------------------------

Como bien os imaginaréis este problema tiene una solución contraintuitiva.
Muchos diréis que la probabilidad de ganar ahora es del 50% verdad? Puesto que solo quedan dos puertas.

Incorrecto.
La posibilidad de que vuestra puerta sea la correcta es del 33,3333%
¿Porque?

Pues vosotros hicisteis vuestra elección cuando aún había tres puertas, pues por lo tanto la probabilidad de haberse equivocado es del 66.666%

A pesar de haber descubierto una puerta no ha cambiado nada de vuestra elección inicial y las probabilidades siguen siendo las mismas.

Así pues la mejor opción es SIEMPRE cambiar de puerta puesto que duplicaréis vuestras posibilidades. Al cambiar de puerta ganaremos siempre que hayamos elegido una cabra con anterioridad.

Puesto que las posibilidades de elegir una cabra son del 66% las posibilidades de ganar cuando cambieis de puerta serán también del 66%.

-----------------
EJEMPLO VISUAL:

Si aún quedan dudas imaginaos la siguiente situación:

Tenemos 100 puertas. Solo 1 de ellas tiene el coche.
Vostros elegís una puerta.

Ahora descarto 98 puertas incorrectas y solo quedan dos. La vuestra y otra.

La probabilidad de que vuestra puerta haya sido la del coche es de tan solo del 1% puesto que la escogisteis entre otras 100.

Así pues, cambiar de puerta os hará ganar en el 99% de las veces.

---------------------

Lo aprendí esta tarde y seguro que a muchos os parecerá curioso.

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Virusaco TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%
Estás diciendo que si elegimos la Puerta 2 y nos desvelan que hay una cabra en la Puerta 1, el Ferrari estará más probablemente en la Puerta 3. Lo siento pero no es así.

Tu elección fué 1/3 de probabilidades de acertar. Una vez descubierta una puerta, la probabilidad es del 50% de acertar, pero esa no fue tu probabilidad inicial.


Pongamos otro ejemplo: Nacer niño o niña es un 50% de probabilidades. Si quieres tener dos hijos, la probabilidad de tenerlos varones es del 25%. Pero si ya ha nacido uno, y es varón, que el siguiente sea varón es un 50% de probable.

En tu ejemplo, hacer una nueva elección es moverse en el 50% de probabilidades. Pero igual de probable es la Puerta 2 que la 3. La elección siempre puede ser elegir la misma puerta que elegistes cuando habían tres.


Salu3

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

Publicado
vida restante: 100%

Estás diciendo que si elegimos la Puerta 2 y nos desvelan que hay una cabra en la Puerta 1, el Ferrari estará más probablemente en la Puerta 3. Lo siento pero no es así.

 

Tu elección fué 1/3 de probabilidades de acertar. Una vez descubierta una puerta, la probabilidad es del 50% de acertar, pero esa no fue tu probabilidad inicial.

 

 

Pongamos otro ejemplo: Nacer niño o niña es un 50% de probabilidades. Si quieres tener dos hijos, la probabilidad de tenerlos varones es del 25%. Pero si ya ha nacido uno, y es varón, que el siguiente sea varón es un 50% de probable.

 

En tu ejemplo, hacer una nueva elección es moverse en el 50% de probabilidades. Pero igual de probable es la Puerta 2 que la 3. La elección siempre puede ser elegir la misma puerta que elegistes cuando habían tres.

 

 

Salu3

 

Lo siento mucho pero estás totalmente equivocado. Tu elección previa condiciona la puerta que se abre posteriormente y que necesariamente debe contener una cabra, y por lo tanto afecta al cómputo de probabilidades, que ya no serán del 50% cuando elijas la puerta.

 

Te propongo el siguiente experimento mental: imagina que en lugar de 3 puertas, hay 3 millones. Tu eliges una y el presentador te abre las 2.999.998 puertas que contienen cabras. ¿Cambiarías o te quedas con la puerta que elegiste? Es lo mismo que en el post original pero con una cifra mucho mayor. A la mayoría de la gente le es más fácil comprenderlo si lo ven de esta manera.

 

No obstante, si no me crees, puedes simular el problema en C, o en Matlab y comprobar por ti mismo que los resultados siempre tienden al 66%-33% y no al 50%-50%. En google puedes encontrar fácilmente una explicación matemática del asunto.

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Shironeko PARIETINAE UMBRA

Publicado
vida restante: 100%

Estás diciendo que si elegimos la Puerta 2 y nos desvelan que hay una cabra en la Puerta 1, el Ferrari estará más probablemente en la Puerta 3. Lo siento pero no es así.

 

Tu elección fué 1/3 de probabilidades de acertar. Una vez descubierta una puerta, la probabilidad es del 50% de acertar, pero esa no fue tu probabilidad inicial.

 

 

Pongamos otro ejemplo: Nacer niño o niña es un 50% de probabilidades. Si quieres tener dos hijos, la probabilidad de tenerlos varones es del 25%. Pero si ya ha nacido uno, y es varón, que el siguiente sea varón es un 50% de probable.

 

En tu ejemplo, hacer una nueva elección es moverse en el 50% de probabilidades. Pero igual de probable es la Puerta 2 que la 3. La elección siempre puede ser elegir la misma puerta que elegistes cuando habían tres.

 

 

Salu3

 

Estás parcialmente en lo cierto, pero finalmente equivocado.

 

Verás, el hecho que lo cambia todo es que el presentador sabe bajo que puerta se esconden las cabras y SIEMPRE abrirá una puerta con una cabra, no está descartando una puerta al azar y por lo tanto las probabilidades seguirán siendo 66% vs 33%.

 

Voy a darte un ejemplo aún más claro. Imagínate que tengo una baraja de cartas y te las muestro cubiertas. Te pido que de todas estas cartas elijas el AS de PICAS.

Obviamente tú no sabes donde está y te verás forzado a elegir una al azar.

 

Ahora, yo me miro las cartas (sin que tu las veas) y voy descartando (poniendo boca arriba) todas aquellas que NO sean el AS de PICAS.

 

Ahora dime amigo,

¿Cuál es más probable que sea la carta del AS de PICAS?

 

¿Aquella carta que tú elegiste de una entre 52 completamente al azar,

o por el contrario es más probable que el AS de PICAS sea esta carta que yo a propósito he dejado cubierta después de mirarme el resto y quitarlas de la baraja?

 

Lo mismo pasa con las puertas. Sin embargo hay algo muy curioso.

 

Esto solo es válido cuando el presentador sabe lo que hay detrás. SI el presentador NO sabe lo que hay detrás y descarta una puerta al azar entonces las probabilidades SI son del 50%.

 

Para continuar por favor aseguraos de que entendáis el primer principio del que hablamos en el primer post.

 

Bueno, suponiendo que habéis comprendido la situación anterior donde se sabe que puertas ocultan las cabras (Obviamente en un programa real siempre sabrán donde están para poder presionarte con su apertura).

 

Ahora imaginémonos que el presentador no sabe donde están y tiene que elegir una puerta (distinta a la vuestra) para descartar. Ello implica la posibilidad de que se equivoque y se cargue el juego mostrando el coche en la primera puerta descartada.

 

Así pues el azar a la hora de elegir la puerta si que reduce las posibilidades al 50%.

¿Porque?

 

Vamos a analizar paso por paso:

 

Si elegimos el coche (33%), el presentador descartará siempre una cabra con lo que el juego continua.

 

Si elegimos una de las cabras (66%) entonces pueden pasar dos cosas:

Que el presentador descarte la puerta del coche y se cargue el juego (50% dentro del 66% anterior)

Que el presentador descarte la otra cabra y siga el juego (50% dentro del 66% anterior).

 

Así pues hay un 33% de probabilidades de que se cargue el juego (la mitad de 66) y 33% de que siga si elegimos una cabra.

 

Globalmente esto se representa así:

 

Elegimos coche: 33%

Elegimos cabra y sigue el juego: 33%

Se para el juego y no tenemos oportunidad de seguir porque se abrió el coche en la primera puerta: 33%

 

Vemos entonces que si la elección de descarte es al azar, entonces si que habrá una probabilidad equitativa a la hora de elegir entre cambiar o plantarse.

 

Sin embargo cuando el presentador sabe lo que hay detrás de la puerta siempre eligirá una cabra para el descarte.

 

Así pues las probabilidades (con el presentador sabiendo lo que hay detrás de cada puerta) de seguir con el coche siguen siendo del 33% si mantenemos la puerta o del 66% si cambiamos.

 

Lo fascinante de todo esto es que cambian totalmente las probabilidades según si una persona distinta a vosotros tenga cierta información o no.

 

Podéis hacerlo en casa y probarlo unas 20 veces con un amigo o familiar. Veréis que ganaréis más si cambiais que sino os quedáis con la puerta.

 

Si alguien tiene más preguntas estoy dispuesto a seguir explicandolo.

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dari_sunn HARENA TIGRIS

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Explicaban algo parecido en la película '21 Black Jack', y nunca llegué a entenderlo bien, aunque ahora ya me voy aclarando.
Es decir, corrígeme si me equivoco, cuando eliges una puerta(puerta 1), tienes un 66%(sin decimales ni hostias) de probabilidades de que sea una cabra. El presentador abre una puerta(puerta 2), que muestra una cabra (con conociemiento de donde están las cabras y el coche) y entonces automáticamente, ¿hay un 66% de probabilidad de que abras la puerta del coche, si eliges la puerta 3? Gracias.
Un saludo.

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Aeo Gwyn, Señor de la Ceniza

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Yo no le veo ni pies ni cabeza. Cuando hay 3 puertas vale, pero en el momento en que eliminan 1 y te dan a elegir entre la 2 o la 3, automáticamente tu probabilidad cambia al 50%.

No hay más, elige o la B o la C, 50%, da igual que antes estuvieras haciendo el pino, hubiera 100 puertas, o estén las azafatas del 1,2,3 en pelotas...

Lo de te dan a elegir es importante ya que pasa a ser un simple problema de probabilidad entre A y B

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Shironeko PARIETINAE UMBRA

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vida restante: 100%
A mi también me costaba entenderlo hasta que dibujé todas las posibilidades. Así que voy a listarlas.

Supongamos que las puertas son las siguientes:

CABRA - CABRA - COCHE

Vamos a ver que ocurre si elegimos la primera puerta.

CABRA(X) - CABRA(Descartada) - COCHE

Nos plantamos: MAL
Cambiamos: BIEN

Ahora supongamos que elegimos la puerta 2

CABRA(Descartada) - CABRA(X) - COCHE

Nos plantamos: MAL
Cambiamos: BIEN

Finalmente supongamos que elegimos la tercera puerta

CABRA(Descartada) - CABRA - COCHE(X)

Nos plantamos: BIEN
Cambiamos: MAL

-------------------------
Como podéis ver en dos de las tres situaciones es mejor cambiarse.
(claro que da igual en que orden estén las puertas)

El hecho de cambiar de puerta simplemente INVIERTE nuestra selección.
De CABRA > A > COCHE
De COCHE > A > CABRA

Así pues, puesto que lo más probable es haber elegido cabras al principio, si nos cambiamos (INVERTIMOS), lo más probable es quedarnos con el coche.

Aquí tenéis un bonito gráfico de la Wikipedia con una simulación del juego después de 30 rondas. Naranja: Cambiando // Azul: No cambiando

Imagen Enviada

Y más información:
http://es.wikipedia....a_de_Monty_Hall

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Aeo Gwyn, Señor de la Ceniza

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vida restante: 100%
Me sigue sin cuadrar. Yo creo que se obvia una cosa que no se debería obviar, y es el 4º caso. Me explico:

Supongamos que las puertas son las siguientes:

CABRA - CABRA - COCHE

Vamos a ver que ocurre si elegimos la primera puerta.

CABRA(X) - CABRA(Descartada) - COCHE

Nos plantamos: MAL
Cambiamos: BIEN

Ahora supongamos que elegimos la puerta 2

CABRA(Descartada) - CABRA(X) - COCHE

Nos plantamos: MAL
Cambiamos: BIEN

Finalmente supongamos que elegimos la tercera puerta

CABRA(Descartada) - CABRA - COCHE(X)

Nos plantamos: BIEN
Cambiamos: MAL


Y faltaría:

CABRA - CABRA(Descartada) - COCHE(X)

Nos plantamos: BIEN
Cambiamos: MAL

Ya tenemos 2 casos buenos y 2 casos malos. 50% como digo

Además hay un detalle interesante, por ejemplo con lo de las 100 puertas. Si el del concurso te abre las que él sabe que están vacías, escogas la que escogas siempre vas a llegar al final con 1 buena y 1 mala. 100% de seguridad que llegas a ese punto.

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Shironeko PARIETINAE UMBRA

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vida restante: 100%

Joer, me acabas de rallar, la lógica dice una cosa pero los números otra! :D :D

 

Tu razonamiento sería correcto, pero solo si fuera verdaderamente aleatorio.

 

Puesto que tu puerta nunca será descartada siempre tienes ese 1/3 de posibilidad más en caso de que cambies.

 

Sin embargo si hubiera el riesgo de que descartaran tu puerta y perdieras el juego, entonces, en caso de sobrevivir, si que sería un 50-50.

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Retro Partidas Bang

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Dos cosas, ya que este juego me encanta. La premisa inicial de la que parte Shironeko esta incompleta, quizás por eso muchos digais que está equivocado, y es que de hecho tal y como él lo plantea, teneis razon.

Falta añadir que el presentador sabe donde está el coche. De hecho, el presentador se ve "forzado" a abrir una de las puertas donde está la cabra y esa es la clave que da un vuelco a todo.

Si el presentador no supiera donde esta el coche y se la jugara abriendo la p uerta 1 y casualmente alli estuviera una cabra, nada habria cambiado y todo quedaria en un 50% - 50%. Y asi es como lo plantea Shironeko, de ahi que este incompleto su planteanmiento inicial.

Segundo comentario. La idea del juego original es de la señorita (y superdotada con record guinnes incluido con un CI de 228) Marilyn Vos Savant, sobre el cual publico incluso un libro que yo mismo tuve el gusto de leer y disfrutar.

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Sohar Pontífice Sulyvahn

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Estoy con el autor del post. En su momento cuando lo escuché no lo entend´í bien, pero exagerando el ejemplo con 100 puertas se entiende muy bien. Lo mejor es cambiar de puerta

¡¡Música clásica y heavy metal a partes iguales!!
http://www.youtube.com/user/Sohar555

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Shironeko PARIETINAE UMBRA

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Me sigue sin cuadrar. Yo creo que se obvia una cosa que no se debería obviar, y es el 4º caso. Me explico:

 

Supongamos que las puertas son las siguientes:

 

CABRA - CABRA - COCHE

 

Vamos a ver que ocurre si elegimos la primera puerta.

 

CABRA(X) - CABRA(Descartada) - COCHE

 

Nos plantamos: MAL

Cambiamos: BIEN

 

Ahora supongamos que elegimos la puerta 2

 

CABRA(Descartada) - CABRA(X) - COCHE

 

Nos plantamos: MAL

Cambiamos: BIEN

 

Finalmente supongamos que elegimos la tercera puerta

 

CABRA(Descartada) - CABRA - COCHE(X)

 

Nos plantamos: BIEN

Cambiamos: MAL

 

 

Y faltaría:

 

CABRA - CABRA(Descartada) - COCHE(X)

 

Nos plantamos: BIEN

Cambiamos: MAL

 

Ya tenemos 2 casos buenos y 2 casos malos. 50% como digo

 

Además hay un detalle interesante, por ejemplo con lo de las 100 puertas. Si el del concurso te abre las que él sabe que están vacías, escogas la que escogas siempre vas a llegar al final con 1 buena y 1 mala. 100% de seguridad que llegas a ese punto.

 

Te aconsejo que cojas una baraja de cartas y lo pruebes tu mismo.

Intenta adivinar una carta. Luego retira el resto y decide por ti mismo si deberías cambiar o no. Haz esto dos o tres veces.

 

En cuanto a lo que dices de las cabras, influye en la posibilidad de que te toque una cabra u otra, pero puesto que las dos son consideradas iguales, entonces no importa cual destapemos.

 

Supongamos que hay lo siguiente: COCHE - 1 - 10

 

Posibilidades de que elijas la puerta del coche = 33%

1 = 33%

10 = 33%

 

Llamaremos a las últimas dos puertas como Puertas DINERO.

 

Así pues:

 

Posibilidades de elegir coche= 33%

Posibilidades de elegir dinero = 66%

 

Aún que descartemos una de las puertas del dinero no cambiará su porcentaje de haberlo elegido al principio.

 

El factor clave de esto es que la puerta del coche nunca será descartada y por lo tanto no es aleatorio.

 

(pero bueno, puede que esta explicación no sea muy precisa puesto que no soy experto del tema).

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Aeo Gwyn, Señor de la Ceniza

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En cuanto a lo que dices de las cabras, influye en la posibilidad de que te toque una cabra u otra, pero puesto que las dos son consideradas iguales, entonces no importa cual destapemos.

 

Creo que ahí está el fallo. Para el tema de las probabilidades sí que importa porque son 2 casos distintos e independientes que deben de contar como 2 y no como 1.

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