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exemptus

Consultorio sobre Física y Matemáticas

Publicaciones recomendadas

exemptus TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%
[NOTA PREVIA: Este hilo estaba originalmente en el Foro VIP. Ahora que existe este subforo, queda movido aquí, que es su lugar natural]

El propósito de este hilo es servir de columna para aclarar dudas o cuestiones generales sobre Física o Matemáticas. Yo mismo mantendré el hilo, del mismo modo que lo hice con el anterior, que servirá de referencia, pero con una salvedad: el tipo de consultas que se permiten está restringido. En particular:

* Nada de preguntas sobre temas de estudios o del tipo "necesito una solución a este problema". Para resolver estos temas existe el HILO OFICIAL DE AYUDAS PARA ESTUDIOS en el Off Topic. La intención de este hilo es mejorar la cultura del que pregunta sobre estos temas, no ayudar a salir de un brete académico.

* La Estadística y el Cálculo Numérico se me dan muy mal y nunca nos hemos entendido mutuamente. Así que no garantizo tener respuesta a cuestiones sobre estos campos a menos que sean bastante básicas. Alguien con la carrera técnica de Estadística probablemente le da cien vueltas a un matemático no especializado en la materia.

* De mismo modo, las preguntas sobre temas de Ingeniería están completamente fuera de mi ámbito de conocimientos. Por no hablar de la Química. Así que este hilo no es lugar para ellas.

* Cada cuestión a responder obtendrá un número y será indexada desde este primer mensaje mediante un enlace. De este modo el hilo es más útil como referencia.

* El nivel de las preguntas importa poco. Sin embargo, el tipo de preguntas es importante. La temática de las mismas debe necesariamente limitarse a los temas especificados: no tengo intención de responder preguntas sobre filosofía, sociología de la ciencia, opiniones personales, metafísica, o disciplinas pseudocientíficas. Para eso tiene doctores la Iglesia, como dicen.

INDICE DE CUESTIONES

FÍSICA

5. ¿Qué son las chispas?
8. A vueltas con los cero kelvins
9. ¿De qué depende la velocidad de escape?
10. ¿Puede ser el Sistema Solar en realidad binario?
11. El "tiro parabólico", ¿es parabólico de verdad?
12. ¿Qué papel tiene el observador en la Mecánica Cuántica?
13. ¿El deshielo ártico aumenta el nivel del mar o no?
14. ¿Qué es el corrimiento al rojo?
15. ¿Qué es el horizonte de sucesos?
16. ¿Qué es eso que llaman energía oscura?
17. ¿Por qué a una hormiga no le pasa nada al caer desde gran altura?
18. ¿Por qué se define un segundo como se define?
19. ¿Qué era el éter y por qué estuvo en boga en la física del siglo XIX?
21. ¿Cuántas dimensiones físicas existen?
23. ¿Cómo funcionan las "Fuerzas G"?
24. ¿Por qué a veces un avión en vuelo se percibe parado desde un vehículo?
25. ¿Por qué una rueda que gira se percibe a veces parada?
26. ¿Es posible interpretar una subdivisión de las partículas elementales?
30. ¿Qué pasaría si la fuerza electromagnética fuera más fuerte o débil?
31. ¿Cómo se interpreta el Lagrangiano en física clásica?
32. ¿Podrían existir planetas rocosos del tamaño de Júpiter?
33. ¿Podría la Tierra tener anillos como Saturno?
34. ¿Qué quiere decir "para alcanzar la velocidad luz hace falta energía infinita"?
35. Velocidades de fase, de grupo, y de señal: la verdadera historia
36. ¿Hay un tope máximo de entropía para el Universo?
37. ¿Cómo se calcula un coeficiente de rozamiento?
38. ¿Cuál es la naturaleza de las fuerzas de contacto?
39. ¿Cómo se disipa un vórtice en una taza de té?
40. ¿Se hace realmente el vacío en un barómetro de Torricelli?
41. Más sobre interpretaciones filosóficas de la física cuántica
42. ¿Es posible la gravedad artificial como la que aparece en la Ciencia Ficción?
43. ¿Dos canicas distintas en una rampa llegan abajo al mismo tiempo?
44. ¿Qué es la precesión de una peonza y cómo se calcula?
45. Un kilo de distintos materiales pueden pesar distinto, en efecto

MATEMÁTICAS

1. Cardinal de un subconjunto de los racionales
2. Principio de dualidad en optimización lineal
3. Los Teoremas de Gödel
4. Cómo hacer un sorteo ecuánime con el número de la lotería
6. ¿Por qué la Conjetura de Poincaré es más difícil en dimensión baja que alta?
7. ¿Qué criterios sirven para saber si dos superficies son ortogonales?
20. ¿Es posible resolver completamente el juego de Go?
22. ¿Cómo se resuelve el Cubo de Rubik usando álgebra?
27. ¿Por qué se habla de una -álgebra en R como "los conjuntos habituales"?
28. ¿Por qué la Regla de l'Hôpital funciona muchas veces para sucesiones?
29. Existencia de una función a partir de ciertas propiedades de su gráfica

*Exemptus*

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Si puedo crear una biyección entre los racionales contenidos entre 0 y 1, y el conjunto Q en su totalidad, ¿es correcta la frase "hay tantos números racionales entre cero y uno como elementos en el conjunto de los racionales"?

Sí, aunque suene extraño. Esto es mera consecuencia de las definiciones de los términos.

 

Antes de nada, hay que precisar qué se entiende por "igual número de elementos". Esto es naturalmente muy claro cuando dos conjuntos son finitos, pero cuando tratamos con conjuntos infinitos deja de estar intuitivamente claro; a primera vista ni siquiera es evidente si tiene sentido que un conjunto infinito A tenga más o menos elementos que otro conjunto infinito B. Resulta que no sólo esto tiene perfecto sentido, sino que además no responde a lo que la intuición nos podría decir a primera vista en absoluto.

 

En Matemáticas, una biyección es una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos A y B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo uno de B, y viceversa. La cosa es que, para conjuntos finitos, si existe una biyección entre ellos, entonces tienen el mismo número de elementos (esto debería estar claro). Pues bien, la misma definición se utiliza para cualquier clase de conjunto, no sólo para conjuntos finitos. De hecho, lo que se define es una relación de orden entre conjuntos, de la manera siguiente:

 

Una inyección entre A y B es casi como una biyección, pero la parte "y viceversa" no se cumple porque pueden quedar elementos de B que no correspondan con ninguno de A. Definimos la relación

 

"A tiene menor o igual cardinal que B"

 

cuando existe una inyección entre A y B.

 

Es claro que una biyección es un tipo particular de inyección, uno que no deja ningún elemento de B sin cubrir. Si quedan elementos de B sin cubrir, entonces tenemos una inyección que no es biyectiva. Si existe una inyección entre A y B pero NO existe una biyección, decimos que A tiene menor cardinal que B pero no igual. Se puede decir "estrictamente menor", como es habitual en las relaciones de orden.

 

Ah, pero ¿esto es de hecho una relación de orden? Aquí hay un problema formal menor que tiene que ver con la axiomática de Teoría de Conjuntos en tanto que las relaciones de orden se definen en conjuntos y no en la clase de todos los conjuntos como en este caso, pero la pasaré por alto ya que no afecta al tema en cuestión. El caso es que es claramente reflexiva (la identidad es una biyección de A en sí mismo, y por tanto inyección) y transitiva (ya que la composición de dos inyecciones es una inyección, como se comprueba fácilmente), pero lo que ya no está claro es que se cumpla la antisimetría. Para que fuera una relación de orden, debería cumplirse que:

 

Si A tiene menor o igual cardinal que B, y B tiene menor o igual cardinal que A, entonces A y B tienen el mismo cardinal.

 

Pero esto NO es evidente en absoluto. Básicamente, el problema se reduce a demostrar que si existe una inyección f: A->B y otra inyección g:B->A, entonces existe una biyección h:A->B. Esto es lo que se denomina Teorema de Schröder-Bernstein, y resulta ser cierto, pero no es nada inmediato de demostrar. Normalmente las denmostraciones del mismo usan el Axioma de Elección de un modo u otro, aunque no es necesario: esto se puede demostrar sin recurrir al AE, aunque el razonamiento es más difícil de seguir. Así que saltaré sobre él.

 

Por tanto, tenemos una relación de orden. Esto automaticamente *ordena* los conjuntos de menor a mayor según cardinal, que es algo equivalente al "tamaño" del conjunto. Ahora bien, resulta que hay más cosas al respecto de esto: esta relación es total (dados dos conjuntos, o uno de ellos tiene menor cardinal que el otro o tienen el mismo cardinal: esto tampoco es evidente), y de hecho, es lo que se denomina buena ordenación (toda subclase de cardinales tiene mínimo), aunque esto no influye en nuestro asunto.

 

De aquí se sigue, por ejemplo, que el conjunto de los naturales N = {1, 2, ...} tiene más elementos que cualquier conjunto finito, ya que no existe ninguna biyección de {1, 2, 3, ..., n} en N para ningún n. Esto es lógico. Pero se sigue también, de mod menos lógico, que el conjunto de los naturales pares tiene el mismo cardinal que el conjunto de los naturales. La prueba es que la función n->2n que asocia a cada número su doble resulta ser una biyección. Por tanto, según las definiciones, hay tantos naturales pares como naturales en total. No la mitad, como podría ser de esperar, sino los mismos.

 

De hecho, esta propiedad de los conjuntos infinitos de poder ponerse en correspondencia biyectiva con una parte de ellos hizo que Dedekind propusiera definir "conjunto infinito" como "aquel en el que existe una biyección de él en uno de sus subconjuntos propios". Esta definición funciona y es de hecho equivalente a la habitual si se acepta el AE. De modo que se puede decir que esta propiedad de hecho es lo que *define* a un conjunto infinito.

 

Esto dicho, entonces no resulta nada extraño que un conjunto infinito como Q tenga "los mismos elementos" que una de sus partes. Es el mismo caso que el de los números pares, sólo que la biyección puede ser más complicada de construir. La verdad es que en este caso, la manera más corta de demostrar esto no es construir la biyección concreta, sino demostrar los siguientes pasos:

 

1. Un conjunto con cardinal estrictamente menor que el de N es finito (es decir, que el cardinal de N es el menor de los cardinales infinitos).

2. Un subconjunto tiene siempre un cardinal menor o igual que el conjunto total.

3. Todo conjunto infinito tiene un sunconjunto del mismo cardinal que N.

4. Q tiene el mismo cardinal que N.

 

El punto 4 es el más sorprendente de todos, pero es cierto. Hay tantos números racionales como naturales, a pesar de que los racionales sean topológicamente densos en la recta real (entre dos racionales cualesquiera siempre hay otro). De los puntos 1, 2, 3 y 4 se deduce inmediatamente que cualquier subconjunto de Q, o es finito, o tiene el cardinal de N. En particular, el conjunto de los racionales entre 0 y 1 tiene el mismo cardinal de N, que es el mismo de Q.

 

Uno podría preguntarse si, de hecho, existen cardinales infinitos *mayores* que el de N. Pues bien, resulta que sí. Existe un resultado denominado Teorema de Cantor que dice:

 

Para cualquier conjunto A, no existe ninguna biyección entre A y el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de A.

 

Según esto, el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de A (llamado "conjunto de partes de A") tiene cardinal estrictamente mayor que el de A, debido a que sí existe siempre una inyección entre A y su conjunto de partes: basta hacer corresponder x->{x}, cada elemento x al subconjunto de A que consta únicamente del elemento x. Esto es evidentemente una inyección, pero no es una biyección porque nada corresponde a los subconjuntos con más de un elemento.

 

Este resultado inmediatamente obliga a que haya una jerarquía de cardinales infinitos. Se suelen llamar los álefs, designados con la letra hebrea con un subíndice ordinal. El menor es el cardinal de N, que se denomina "álef sub-cero". El siguiente sería el cardinal del conjunto de subconjuntos de N, que sería álef sub-uno, y así sucesivamente.

 

Pero es más complicado que esto, en realidad. Mucho más. Para empezar, la jerarquía no tiene límites pero para cualquier conjunto de cardinales que se tome, existe un conjunto con un cardinal mayor que *todos ellos*, lo que se denomina cardinal límite. De éste se puede tomar también su conjunto de partes, así que la jerarquía sigue. Todos estos cardinales límite formados así también constituyen un conjunto, así que hay un cardinal mayor que todos ellos, y la cosa sigue y sigue; pero *todos los cardinales* no forman un conjunto porque esto sería autocontradictorio; formalmente son lo que se llama una "clase propia", sin cardinal máximo. Eventualmente, se pueden definir cardinales (inaccesibles, hiperinacessibles, inefables, Mahlo, etc) cuya existencia depende de la consistencia de los axiomas de la Teoría de Conjuntos que se escojan, pero no me voy a meter en estos fregados de momento. Además, marea la mente.

 

*Exemptus*

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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Hola.

Muchas gracias por la aclaracion. Hay muchas cosas que no entiendo, pero en general me ha quedado claro. La biyeccion en cuestion si que he logrado construirla, utilizando el conjunto N como intermediario:

0 ---> 0
1 ---> 1
2 ---> 1/2
3 ---> 1/3
4 ---> 2/3
5 ---> 1/4
6 ---> 3/4
7 ---> 1/5
8 ---> 2/5
9 ---> 3/5
...


Y ademas:

0 ---> 0
1 ---> 1
2 ---> 1/2
3 ---> -1/2
4 ---> 2
5 ---> -2
6 ---> 1/3
7 ---> -1/3
8 ---> 3
9 ---> -3
...


Con lo que:

0 <---> 0
1 <---> 1
1/2 <---> 1/2
1/3 <---> -1/2
2/3 <---> 2
1/4 <---> -2
3/4 <---> 1/3
1/5 <---> -1/3
2/5 <---> 3
3/5 <---> -3
...

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Muchas gracias por la aclaracion. Hay muchas cosas que no entiendo, pero en general me ha quedado claro. La biyeccion en cuestion si que he logrado construirla, utilizando el conjunto N como intermediario:

Me temo que eso no es una biyección. ¿Cuál es la imagen inversa de 3/2, por ejemplo?

 

*Exemptus*

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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vida restante: 100%

Me temo que eso no es una biyección. ¿Cuál es la imagen inversa de 3/2, por ejemplo?

A ver, la primera biyeccion entre los naturales y los racionales entre 0 y 1 creo que esta correcta, ¿no? Simplemente hay que cuidarse de no repetir elementos (esto es, referirse siempre a fracciones irreducibles).

 

La segunda biyeccion es mas tediosa, pero se puede construir igualmente. Para que quede claro, indico unos cuantos terminos mas:

 

0 0

1 1

2 1/2

3 -1/2

4 2

5 -2

6 1/3

7 -1/3

8 3

9 -3

10 2/3

11 -2/3

12 3/2

13 -3/2

14 1/4

15 -1/4

16 4

17 -4

18 3/4

19 -3/4

20 4/3

21 -4/3

22 1/5

23 -1/5

24 5

25 -5

26 2/5

27 -2/5

28 5/2

29 -5/2

30 3/5

31 -3/5

32 5/3

33 -5/3

34 4/5

35 -4/5

36 5/4

37 -5/4

38 1/6

39 -1/6

---

¿Es correcto?

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Ah, de acuerdo entonces. No estaba viendo cómo construías la segunda biyección. Ahora parece que está bien.

De todos modos, hay un medio más sencillo para estas cosas, porque estoy razonablemente seguro de que construiste esta función por ensayo y error, y hay una manera de dar con este tipo de funciones de modo más sistemático.

Si quieres construir una biyección desde los racionales entre 0 y 1 y Q, lo más fácil es resolver el problema para números reales. Observa este truco. Encuentra dos polinomios p(x) y q(x) tales que la función f(x) = p(x)/q(x) cumpla las siguientes condiciones:

1. f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (0,1).
2. f(x) tiene asíntotas verticales en 0 y 1 (o sea, que el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es -inf, y el límite de f(x) cuando x tiende a 1 por la izquierda es +inf.
3. La derivada de f(x) en el punto donde f(x)=0 (sólo puede haber uno) es estrictamente positiva.

Entonces, te garantizo que f es una biyección entre el intervalo (0,1) y R. Y, por tanto, f (o, mejor dicho, su restricción) es también una biyección entre los racionales entre 0 y 1 y Q.

Por ejemplo, la función f(x) = (x - 1/2)/(x*(1 - x)) sirve. Puedes demostrar ahora que efectivamente esta función *es* biyectiva (está claro que transforma racionales en racionales, por supuesto):

Claramente f es suprayectiva en R, porque es continua en (0,1) y el Teorema del Valor Medio establece que la imagen recorre todos los valores entre dos arbitrarios.

Y por otra parte, f(x) = f(y) implica
(x - 1/2)/(x*(1 - x)) = (y - 1/2)/(y*(1 - y)), que implica
(x - 1/2)*y*(1 - y) = (y - 1/2)*x*(1 - x), que implica
-x*y^2 + x*y + y^2/2 - y/2 = -y*x^2 + x*y + x^2/2 - x/2, que implica
x*y^2 - y^2/2 + y/2 = y*x^2 - x^2/2 + x/2, que implica
(x - 1/2)*y^2 +y/2 = (y - 1/2)*x^2 + x/2,
que sólo tiene como solución en (0,1)x(0,1) la recta x=y. Por tanto f(x)=f(y) implica x=y, así que f es inyectiva también. Luego f es una biyección.

*Exemptus*

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Sir Porthos Rey Vendrick

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vida restante: 75%
Yo tengo una duda con un ejercicio que es muy muy puntual, y no es para salir de un brete académico (como la curva que al pasar por el spline cambia de color mágicamente, que esa sí que me está haciendo líos académicos) si no que por mera curiosidad, así que no sé si la cubres:

¿Recuerdas que hace unos años te consulté por un libro de optimización?
Bien, decía que el teorema de Farkas especifica que x R^n tal que Ax = b y x 0.

Hace algún tiempo me encontré con esto que me hizo curiosidad porque se me hace un lío y nu sé cómo...

- Demostrar que el problema
max c^t x
Ax 0
x 0

no es acotado usando un sistema sin solución.


Y pues, no sé... supongo que usando el teorema el sistema debe ser algo simple, digamos:

A^t y c
y 0

Y ahí que lo miro... y uhm, digo mejor le pregunto a exe.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%

¿Recuerdas que hace unos años te consulté por un libro de optimización?

Bien, decía que el teorema de Farkas especifica que x R^n tal que Ax = b y x 0.

Estrictamente hablando, el Lema de Farkas viene a decir que, dados A y b (matriz cuadrada y vector respectivamente), se da una y solamente una de estas circunstancias:

 

O bien existe xR^n tal que Ax = b y todas las componentes de x son no negativas,

 

O bien existe yR^n tal que el vector (A^t)y tiene componentes no negativas y (b^t)y

 

Geométricamente es fácil de interpretar: dados un vector y un cono (infinito) en R^n, o bien el vector está dentro del cono o bien existe un hiperplano que separa ambos, pero no ambas cosas.

 

- Demostrar que el problema

max c^t x

Ax 0

x 0

 

no es acotado usando un sistema sin solución.

Supongo que A es una matriz cuadrada dada, c un vector dado, y el problema consiste en demostrar que el máximo del escalar (c^t)x sujeto a las condiciones Ax = 0 no está acotado.

 

Existe un resultado denominado el Teorema de Dualidad, que dice que dados A y c, existe un vector x con Ax = 0 para todo vector y >= 0 que cumpla(A^t)y = 0. Esto no es muy difícil de demostrar. Pero lo que este teorema significa es que el hecho de que una desigualdad lineal Ax = 0 con (A^t)y = 0, (c^t)y

 

De aquí se puede deducir que si un sistema tiene una solución óptima, su dual también, cosa lógica si lo pensamos. Pero es que también es una consecuencia que si un sistema es no acotado, su dual *no* tiene solución. Realmente esto es lo que nos están pidiendo. Consulta Combinatorial Optimization (B.H. Korte, J. Vygen), ISBN 3540256849, capítulo 3.2 para una exposición sistemática de estos resultados.

 

*Exemptus*

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tribal23 Rey Vendrick

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¿me podria explicar brevemente alguien en que consiste el teorema de Godel y que implica?

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%

¿me podria explicar brevemente alguien en que consiste el teorema de Godel y que implica?

Tanto como "brevemente", lo dudo mucho. Existen dos Teoremas de Gödel, distinguidos normalmente como "Primer Teorema de Incompletitud" y "Segundo Teorema de Incompletitud". Ambos son enunciados muy abstractos sobre sistemas lógicos formales que establecen límites a la capacidad de los mismos de demostrar teoremas.

 

El Primer Teorema es el más conocido. Un sistema formal es un conjunto de axiomas y reglas de inferencia basadas en la lógica proposicional de primer orden: sin ir más lejos, si A es un axioma del sistema, y el sistema incluye también todas las proposiciones de la forma "A implica B", entonces todas las consecuencias de A son teoremas del sistema. Un teorema es cualquier enunciado que puede deducirse de los axiomas mediante una cadena de reglas de inferencia.

 

Decimos que una proposición P es demostrable en el sistema si es un teorema; es decir, que existe una cadena de inferencia concreta para P. Decimos que una proposición cualquiera P es verdadera en el sistema si P es demostrable o bien la negación de P implica una contradicción lógica cuando se añade como axioma al sistema (y por tanto dicha negación es falsa).

 

Por definición, todas las proposiciones demostrables son verdaderas. El Primer Teorema de Gödel viene a decir que lo contrario no es cierto en determinadas condiciones bastante generales. Es decir, que existen sistemas formales (perfectamente caracterizables) en los que no toda proposición verdadera es demostrable, y no toda proposición falsa es refutable. Vamos, que existen proposiciones U con una de estas dos propiedades:

 

1. A pesar de que sabemos que U es cierta, no existe manera de demostrar U dentro del sistema;

 

o bien

 

2. A pesar de que sabemos que U es falsa, no existe manera de demostrar la negación de U dentro del sistema.

 

Una tal proposición U se denomina indecidible.

 

Los sistemas afectados por esta peculiaridad (llamados sistemas de Tipo G) son muchos y muy amplios. De hecho, Gödel demostró que cualquier sistema formal capaz de generar axiomáticamente la aritmética de los números naturales es automaticamente de Tipo G. Con lo cual, la Aritmética de Peano es de Tipo G. Naturalmente, cualquier sistema más completo que uno de Tipo G es también de Tipo G, porque incluye sus axiomas. Con lo cual la Teoría de Conjuntos de de Tipo G. Las Matemáticas al completo constituyen un sistema de Tipo G. Esto implica que existen enunciados construibles a partir de los símbolos formales matemáticos que son indecidibles: no hay manera de demostrar si son ciertos o falsos usando las propias matemáticas.

 

Uno podría preguntarse qué forma tienen estos enunciados. Se pueden poner ejemplos. Gödel construyó uno usando la Aritmética de Peano como sistema formal; el ejemplo es muy enrevesado, así que no lo reproduciré aquí. Básicamente, Gödel se las arregló de una manera muy ingeniosa para construir un enunciado acerca de números naturales que era autorreferente y afirmaba su propia no demostrabilidad. Es decir, que el enunciado en cuestión venía a decir:

 

Q = "El enunciado Q no es demostrable en el sistema formal S"

 

Donde S es la Aritmética de Peano. Pensemos en el enunciado Q. ¿Es cierto o falso? Si fuera falso, entonces el enunciado Q sería demostrable en S. Pero si es demostrable, por definición es verdadero, así que esto es contradictorio. Por tanto, no puede ser falso. Luego es verdadero. Luego lo que dice Q es cierto, a saber, que Q no puede ser demostrado. Voilà.

 

A primera vista esto parece un mero juego de palabras y además algo no cuadra: si acabamos de deducir que Q no es demostrable en virtud de lo que dice, ¿cómo es que hemos *demostrado* que Q es cierto? Pues muy sencillo: el razonamiento que hemos usado está fuera del sistema formal S. No es formalizable. Hemos postulado que si fuera falso, sería demostrable, luego sería verdadero, lo cual no puede ser, así que de hecho *es* verdadero. Este razonamiento no se puede efectuar en el lenguaje del propio sistema formal S, porque el sistema no tiene noción alguna acerca de su propia fiabilidad: no tiene manera de *demostrar* que una proposición demostrable en él es verdadera. Esto tiene que ver con el Segundo Teorema de Incompletitud, pero esto lo dejamos para más tarde.

 

Resumiendo: sabemos que Q es cierta, pero para saberlo hemos tenido que razonar en un meta-sistema ajeno a S. Pero, siendo Q cierta (y no le queda más remedio), sabemos que no es demostrable en S.

 

Otro ejemplo parecido sería:

 

Q' = "El enunciado Q' es refutable en el sistema formal S".

 

El lector puede razonar análogamente para llegar a la conclusión de que Q' es un enunciado falso que no es refutable en S.

 

Tanto Q como Q' son indecidibles en S. Dentro del sistema no hay modo alguno de demostrar si son ciertos o falsos; de ahí lo de "indecidibles" (la palabra original del artículo de Gödel era unbeweisbar).

 

Uno también se podría preguntar si todos los enunciados indecidibles son autorreferentes de este tipo. No, ni mucho menos. Se conocen bastantes indecidibles en Matemáticas, la mayoría de ellos en Teoría de Conjuntos. El Axioma de Elección es el más famoso de ellos, pero hay muchos otros: la Hipótesis del Continuo, el Axioma de Martin, el Problema de la Palabra para semigrupos, el Problema de Decisión del Castor Afanoso para Máquinas de Turing, la Caracterización de Complejos Simpliciales, la Resolubilidad de Ecuaciones Diofánticas (el famoso Décimo Problema de Hilbert), el Teorema de Goodstein, y muchos otros que podría citar sin demasiado esfuerzo.

 

El lógico Raymond Smullyan ha hecho un excelente trabajo construyendo ejemplos sencillísimos de sistemas formales de Tipo G. Por ejemplo, definimos el sistema formal siguiente (que he sacado del libro The Riddle of Scheherazade):

 

1. EL sistema es una máquina que imprime enunciados. Los enunciados que la máquina imprime constan de tres símbolos, que son P, R, N. Un enunciado es cualquier cadena construida con estas letras que empiece por P, NP, RP, o NRP; es decir, que sea de una de las siguientes formas (donde "x" es cualquier cadena de estas letras):

 

1.1: Px (por ejemplo, PNRNP)

1.2: NPx (por ejemplo, NPRRN)

1.3: RPx (por ejemplo, RPPNRP)

1.4: NRPx (por ejemplo, NRPNNPR).

 

2. Un enunciado se denomina "imprimible" si la máquina lo puede imprimir. La máquina está programada de tal forma que, si puede imprimir algo, lo imprimirá antes o después. Es decir, que cualquier enunciado imprimible aparece impreso si esperamos lo suficiente.

 

3. La verdad o falsedad de los enunciados se define de la siguiente forma:

 

3.1. Un enunciado de la forma Px es verdadero si y sólo si x es imprimible.

3.2. Un enunciado de la forma NPx es verdadero si y sólo si x NO es imprimible.

3.3. Un enunciado de la forma RPx es verdadero si y sólo si xx es imprimible (xx es la cadena x repetida a continuación de sí misma).

3.4. Un enunciado de la forma NRPx es verdadero si y sólo si xx NO es imprimible.

 

En este sentido, "N" se puede entender por "negación", "P" por "imprimible" y "R" por "repeticion". Esto define los enunciadoq ue son verdaderos y los que no.

 

La máquina es autorreferente en el sentido de que imprime enunciados acerca de lo que la propia máquina puede o no puede imprimir, lo cual es curioso pero no implica ninguna contradicción lógica. Por ejemplo, si la máquina imprime alguna vez el enunciado RPPN, entonces el enunciado RPPN es imprimible, con lo cual PRPPN es verdadero.

 

Adicionalmente, se nos dice que, por definición, todo lo que imprime la máquina es verdadero. La máquina nunca imprime un enunciado falso. De aquí se sigue que si la máquina imprime PNR, entonces PNR es verdadero; pero PNR significa "NR es imprimible", con lo cual, dado que la máquina imprime todo lo que es imprimible, antes o después sabemos que imprimirá NR.

 

Ya está todo listo. La máquina es un sistema formal. Tiene un lenguaje, unos axiomas (los enunciados del tipo 1.1 a 1.4), unas reglas de inferencia y una definición de lo que es verdad (3.1 a 3.4).

 

Pues bien, la máquina es de Tipo G. Concretamente, el conjunto de enunciados imprimibles por la máquina es de Tipo G. O, lo que es lo mismo: afirmo que existe un enunciado verdadero que la máquina no puede imprimir. Esto es exactamente lo mismo que dice el Teorema de Gödel acerca de sistemas más generales.

 

Siguiendo el espíritu de Smullyan, el lector puede pasar un rato entretenido tratando de construir un enunciado así. No es difícil, y daré una pista: la idea es esencialmente la misma de la proposición Q de más arriba. Pongo la solución en destripe para quien quiera poner a prueba su ingenio.

 

Spoiler
El enunciado NRPNRP es verdadero, pero no es imprimible. Esto se demuestra enseguida, porque NRPNRP significa "la repetición de NRP no es imprimible". Pero la repetición de NRP es NRPNRP, que es el propio enunciado. Así que de hecho NRPNRP significa "no soy imprimible por la máquina".
Douglas Hofstadter da otro ejemplo muy bonito de construcción de sistema formal de Tipo G en su obra Gödel, Escher, Bach (cuya lectura debería ser obligatoria para todo aquél mínimamente interesado en las curiosidades intelectuales), esta vez disfrazado de problema de construir una palabra dada a partir de unas reglas. No lo reproduzco porque ya me he extendido demasiado, pero es un ejemplo más completo que el que he puesto en varios sentidos; también es más cercano a un problema matemático real.

 

Hasta aquí el Primer Teorema de Incompletitud. Toca hablar del Segundo. Pero tendré que dejarlo para el lunes, porque es tarde y no vuelvo hasta entonces.

 

*Exemptus*

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Vamos con el Segundo Teorema de Incompletitud.

Un sistema formal parte de un conjunto de axiomas. Es intuitivamente claro que puede haber muchos o pocos; cuantos más haya, más cosas se podrán deducir de dichos axiomas; se dice que el sistema es más "potente", de modo informal. Pero también, a mayor número de axiomas, aumenta la posibilidad de que el sistema incluya un axioma y también su negación, con lo cual se obtendría una contradicción lógica.

Una tautología es una proposición que es universalmente cierta en lógica proposicional, independientemente de los valores de verdad de los enunciados que la componen. Por ejemplo, para cualquier proposición p, tenemos que "p implica p" es una tautología.

Una falsedad universal es lo contrario de una tautología. Por ejemplo, "p es cierta si y sólo si p es falsa" es un enunciado falso, nos pongamos como nos pongamos, para cualquier proposición p.

Pues bien, si F simboliza una falsedad lógica, la proposición "F implica p" es una tautología para cualquier p. Esto significa que una proposición falsa implica cualquier proposición. La tabla de verdad para el operador "implicación" muestra que el enunciado A->B es cierto siempre que A sea falso. Esto es lo que se simboliza con la expresión tradicional ex falso sequitur quodlibet (de lo falso se deduce cualquier cosa).

Si un sistema formal S tiene como axioma una falsedad lógica, entonces en el sistema S se puede demostrar cualquier cosa. Esto es consecuencia inmediata de lo que acabamos de ver. Naturalmente, esto no quiere decir que lo que se demuestre es cierto: simplemente, como S contiene una falsedad como axioma, cualquier cosa se deduce. Un sistema que contiene una falsedad lógica, o cuyos axiomas permiten deducir una falsedad lógica, es autocontradictorio y en él se puede demostrar cualquier cosa. Es infinitamente potente, pero no sirve de nada, ya que no hay manera de saber qué proposiciones son ciertas. Este tipo de sistema se denomina inconsistente.

Un sistema formal S se dice que es completo si toda proposición que es cierta en S es también demostrable en S. Lo que dice entonces el Primer Teorema de Incompletitud de Gödel es que ciertos tipos de sistemas (los de Tipo G) son incompletos: en ellos se pueden formular proposiciones que son verdaderas pero no se pueden demostrar dentro del sistema.

Pues bien, si un sistema es lo suficientemente potente, su lenguaje interno permitirá describir proposiciones capaces de referirse al propio sistema (esto es parte de lo que hemos visto en el Primer Teorema). En particular, si aumentamos la capacidades de demostración del sistema, llegará un momento en el que éste corra peligro de volverse inconsistente porque puede demostrar *demasiadas* proposiciones. Concretamente, el Segundo Teorema dice (de modo informal):

Si un sistema formal suficientemente potente es capaz de demostrar su propia consistencia, entonces es inconsistente.

Pensemos en esto un momento, porque a primera vista parece que tiene algo de contradictorio. Pongamos que tenemos un sistema S y uno de los enunciados constructibles dentro del sistema S es C = "El sistema S es consistente". Entonces, lo que dice el teorema es que, si el enunciado C es demostrable (dentro del sistema S), entonces S es inconsistente. Es decir, que si C es demostrable, entonces es falso. Esto nos puede chocar (¿cómo va a ser falso un enunciado demostrable?), pero la cosa no es contradictoria, porque precisamente si C es falso, entonces S es inconsistente, y por consiguiente en él se puede demostrar cualquier cosa, sea cierta o falsa, ¡incluyendo la consistencia de S!

Naturalmente, si S es inconsistente, no nos podemos fiar de nada de lo que podamos demostrar en S. Por eso tiene muchísima importancia el asegurar que el sistema formal con el que estemos trabajando en un momento dado es consistente, porque si no, estamos apañados.

Por ejemplo, ¿los modelos de Teoría de Conjuntos usados normalmente en Matemáticas son consistentes? Pues, a pesar de los intentos habidos, parece que no hay manera humana de demostrar esto... lo cual hace sospechar fuertemente que en efecto son consistentes, porque precisamente si lo son debería ser imposible demostrar que lo son.

En este sentido, si S es un sistema formal consistente1, entonces la proposición "S es consistente" resulta ser indecidible en S (en el sentido del Primer Teorema).

Este tipo de resultados tiene muchísima importancia el lógica modal y en fundamentación de las Matemáticas. Por ejemplo, gracias a este tipo de cosas sabemos que agregar la Hipótesis del Continuo a los axiomas generales del modelo de Gödel-Bernays con Axioma de Elección (GBC) para la Teoría de Conjuntos no afecta a la consistencia del sistema, pero la existencia de un cardinal de Reinhardt automáticamente hace GBC inconsistente; por tanto, no existen cardinales de Reinhardt (en este modelo al menos).

Los Teoremas de Gödel supusieron un golpe terrible para el intento formalista de fundamentar rigurosamente las Matemáticas a principio del siglo XX. Hoy en día ya nos hemos adaptado a ellos, pero por aquel entonces la cosa fue demoledora, porque básicamente probaban que lo que se estaba intentando hacer esa algo esencialmente imposible. Lógicos como Frege dedicaron años a tratar de probar que la Teoría de Conjuntos admitía una formalización consistente y completa. El problema es que, según hemos visto, si un sistema axiomático se puede demostrar tanto consistente como completo dentro del propio sistema, entonces es automáticamente inconsistente. Por tanto, cualquier esfuerzo destinado a intentar demostrar la consistencia de las Matemáticas es en balde.

Uno se puede preguntar si la consistencia de S no se podría demostrar en algún sistema más grande, digamos T, que incluya los axiomas de S. Sabemos que el Teorema de Gödel impide demostrar la consistencia en S, pero quizás podamos probar que S es consistente "desde fuera", por así decirlo. El problema de esto es el siguiente: pongamos que en efecto, hemos conseguido probar la consistencia de S usando el sistema T. Pero, ¿quién nos asegura que este enunciado sea cierto? Será cierto sólo si T es consistente... y para eso tendríamos que probar antes la consistencia de T. Y volvemos a lo mismo.

De modo que nunca podremos demostrar que las Matemáticas son consistentes. Eso es un hecho, con lo cual más vale acostumbrarse a él. En realidad no es tan grave, una vez abarcadas las limitaciones de la demostrabilidad. Sabemos que de hecho son consistentes porque no hay modo de probar que lo son. :) Algunas partes limitadas formalizables como modelos cerrados son demostrablemente consistentes (aunque no completas), como la aritmética de primer orden.

Hay muchas consecuencias e interpretaciones de los Teoremas de Gödel en campos tan dispares como filosofía de la ciencia, inteligencia artificial, o psicología cognitiva, pero ya son más discutibles, y dependen generalmente del punto de vista filosófico que se adopte. Por eso prefiero no meterme ahí.

*Exemptus*

__________
1 Estrictamente hablando, un sistema formal consistente de Tipo 4, pero esto es un tema técnico que no afecta a la discusión general.

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Aeo Ornstein y Smough

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Hola!
Recupero una pregunta del otro hilo pero no sé si entra en la temática admitida, en ese caso borradme el hilo sin decir nada que ya me doy por aludido y así no desvirtuo el post.

Si quiero hacer un sorteo entre un número X de participantes en el que el ganador sea el correspondiente al número que toque en un sorteo de la lotería. (23417 por ej.) ¿Cómo sería la mejor manera de hacerlo?

Un ejemplo. Se sortea entre 50 personas algo en función del número de la loto. ¿Cómo puedo corresponder ese número a un participante de manera que todos hayan tenido la misma probabilidad de que les tocase salga el número que salga en la loto? Esto claro, independientemente siempre del número de participantes que haya, es decir, que valga tanto para 2 como para 999 personas.

Repito que si no entra en la temática, que me da que es de estadística, borrad el post sin problemas!!
Saludos.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Si quiero hacer un sorteo entre un número X de participantes en el que el ganador sea el correspondiente al número que toque en un sorteo de la lotería. (23417 por ej.) ¿Cómo sería la mejor manera de hacerlo?

 

Un ejemplo. Se sortea entre 50 personas algo en función del número de la loto. ¿Cómo puedo corresponder ese número a un participante de manera que todos hayan tenido la misma probabilidad de que les toquase salga el número que salga en la loto? Esto claro, independientemente siempre del número de participantes que haya, es decir, que valga tanto para 2 como para 999 personas.

 

Repito que si no entra en la temática, que me da que es de estadística, borrad el post sin problemas!!

Esto no es Estadística, sino Probabilidad. No meto ambos tipos de cuestiones en el mismo saco porque su naturaleza suele der muy distinta. Además, esta cuestión es fácil. En la práctica el número de personas X será menor que el máximo número posible de la lotería, así que se puede recurrir simplemente a asignar tramos de enteros.

 

Sea N el máximo número posible que puede salir en el sorteo de la lotería. Halla la parte entera de N/X, ignorando la parte decimal, y llámalo T. Por ejemplo, si tienes 86 personas y N=99999, entonces 99999/86 = 1162,779, así que T=1162. Entonces, dado que el primer número válido que puede salir en un sorteo es el 00000, asigna los números del 0 al T-1 al primer concursante; del T al 2T-1 al segundo; del 2T al 3T-1 al tercero; y así sucesivamente.

 

Si numeramos los concursantes, al concursante número k le corresponderá el tramo de enteros entre (k-1)T y kT-1, ambos inclusive, para k=1, ..., X. Si el número del sorteo cae en el tramo k-ésimo, gana el concursante k.

 

Este método tiene un ligero defecto: que hay una cierta cantidad del números cerca del extremo superior que no corresponden a ningún tramo (con este ejemplo, el último tramo va del 98770 al 99931, con lo que quedan 68 posibles números sin asignar); si da la casualidad de que toca en uno de ellos, el premio queda desierto. Este tramo, por construcción, siempre constará de menos números que participantes, así que puedes hacer dos cosas si el número cae en este tramo:

 

(1) convenir que el sorteo es nulo y hay que remitirse al siguiente sorteo; o bien

 

(2) aceptar alguna clase de resultado especial en este caso particular (repartir el premio entre todos, o donarlo a caridad, o lo que sea).

 

En cualquier caso, la probabilidad de que el número premiado caiga en este tramo especial es menor que la que tiene cualquier participante de ganar.

 

Lo que se ha hecho en este método es hallar la longitud del mayor intervalo de enteros que cabe en el tramo de números premiados tantas veces como participantes haya. A primera vista esto es lo mismo que este otro método, que NO cumple tus condiciones:

 

Numeramos los concursantes de 0 a X-1; si el número premiado es P, entonces el premio corresponde al concursante P mod X.

 

¿Por qué este otro método no sirve? Porque no es ecuánime; sólo lo es si N es múltiplo exacto de X. En cualquier otro caso, habrá unos concursantes con una ligera ventaja sobre otros porque en el tramo de posibles números premiados hay menos números con módulo cercano a X como números con módulo cercano a 0. Sin embargo, el primer método tiene la propiedad de que cada concursante tiene exactamente la misma probabilidad de ganar.

 

Ten en cuenta que N no siempre es 99999 en la lotería. Eso depende del sorteo; tendrás que informarte.

 

*Exemptus*

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Aeo Ornstein y Smough

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Hola exe, gracias. Yo es que la probabilidad la estudié en estadística. Cosas de tener pocas asignaturas de matemáticas imagino.

Una duda, si uso el método del módulo, al menos el último tramo de números que con el primer método no cubrías, queda englobado no? Lo digo porque a lo mejor es mejor sacrificar una pequeña diferencia en las probabilidades que dejar una cantidad de números sin cubrir.

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rules Lord Boros

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Muy buenas exemptus, me gustaría que me ayudaras a hacer esto, simplemente la fórmula o lo que se tenga que hacer, quiero resolverlo yo y que me digas después que tal lo he hecho.

La cuestión es la siguiente:


Sea (x,y) una v.a. con función de densidad dada por:


f(x,y) = [k(x-y) si 0 <= x <= 2, 0 <= y < x


y 0 en otro caso].


Ahora tengo que calcular lo siguiente que no tengo muy claro como hacerlo:

-Obtener la recta de regresión de Y/X y da una predicción para el valor X=0,6

-Calcular la curva de regresión de Y/X y la razón de correlación correspondiente. ¿Son fiables las predicciones que realizamos con dicho ajuste? ¿Y si lo hicieramos con la recta de regresión?



Bueno decir tambien que tengo que calcular el valor de K, una probabilidad y las funciones de densidad marginales y condicionales, pero esto lo puedo hacer solo :) ( creo X-D)



Por cierto: Estudio la diplomatura en Estadística por lo del principio del post X-D esto es para preparar un examen de ampliación de cálculo de probabilidades.

"Los momentos más oscuros de nuestras vidas no deben ser ni enterrados ni olvidados; más bien son un recuerdo que debe permanecer para servir de inspiración y recordarnos la fortaleza del espíritu humano y nuestra capacidad para soportar lo intolerable".

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