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exemptus

Consultorio sobre Física y Matemáticas

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%

Hola exe, ¿sabes si se ha intentado enfriar algún objeto por debajo del mínimo teórico de 0ºK

He estado leyendo que el telescopio Planck lo han puesto a -273,05Cº para su óptimo funcionamiento y me he quedado helado :D

Esto... no sé si has reparado en ello, pero -273,05 ºC es *mayor* temperatura que cero kelvins1. El cero absoluto equivale a -273,16 ºC.

 

*Exemptus*

 

__________

1 Y no son "grados kelvin", sino "kelvins" a secas. Cosas de la IUPAC.

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minardif1 Sir Alonne

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Hola exe, ¿sabes si se ha intentado enfriar algún objeto por debajo del mínimo teórico de 0ºK

He estado leyendo que el telescopio Planck lo han puesto a -273,05Cº para su óptimo funcionamiento y me he quedado helado :D

 

Intentado supongo que si aunque no se si habran llegado al cero absoluto. Aun así es imposible superarlo.

 

Exemptus, anda, explica la diferencia entre Energia Mínima y Energia Libre Mínima XD


PlayStation 4 - Lizarus                                                                                                                                       Nintendo Switch - SW-3066-4828-2502

 

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Intentado supongo que si aunque no se si habran llegado al cero absoluto. Aun así es imposible superarlo.

También es imposible *llegar*. Tercera Ley de la Termodinámica.

 

Exemptus, anda, explica la diferencia entre Energia Mínima y Energia Mínima Libre XD

La segunda es la función de estado que es transformada de Legendre de la primera. ¿A que esa manera de diferenciarlas no la conocías? :)

 

*Exemptus*

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Aeo Ornstein y Smough

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Hola exe, ¿sabes si se ha intentado enfriar algún objeto por debajo del mínimo teórico de 0ºK

He estado leyendo que el telescopio Planck lo han puesto a -273,05Cº para su óptimo funcionamiento y me he quedado helado :D

Esto... no sé si has reparado en ello, pero -273,05 ºC es *mayor* temperatura que cero kelvins1. El cero absoluto equivale a -273,16 ºC.

 

*Exemptus*

 

Ya, si por eso lo digo, porque me ha sorprendido bastante que se hayan aproximado con tal precisión al cero absoluto y me preguntaba si forzando un poquito más la máquina...

 

__________

1 Y no son "grados kelvin", sino "kelvins" a secas. Cosas de la IUPAC.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Ya, si por eso lo digo, porque me ha sorprendido bastante que se hayan aproximado con tal precisión al cero absoluto y me preguntaba si forzando un poquito más la máquina...

Pues no es ningún récord ni mucho menos. El récord mundial está en 100 picokelvins.

 

De todos modos en cuanto tenga un ratito me explayaré un poco sobre el por qué del postulado de Nernst y otras cosillas curiosas al respecto de la temperatura.

 

*Exemptus*

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minardif1 Sir Alonne

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Exemptus, anda, explica la diferencia entre Energia Mínima y Energia Mínima Libre XD

La segunda es la función de estado que es transformada de Legendre de la primera. ¿A que esa manera de diferenciarlas no la conocías? :)

 

*Exemptus*

 

Interesante, tampoco sé lo que es la transformada de Legendre. Me voy a informar. Mi definición es más basta %]

 

La entropia tiene el quid de la cuestión, por eso saque el tema de la enrgia libre mínima.


PlayStation 4 - Lizarus                                                                                                                                       Nintendo Switch - SW-3066-4828-2502

 

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Aeo Ornstein y Smough

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Ya, si por eso lo digo, porque me ha sorprendido bastante que se hayan aproximado con tal precisión al cero absoluto y me preguntaba si forzando un poquito más la máquina...

Pues no es ningún récord ni mucho menos. El récord mundial está en 100 picokelvins.

 

De todos modos en cuanto tenga un ratito me explayaré un poco sobre el por qué del postulado de Nernst y otras cosillas curiosas al respecto de la temperatura.

 

*Exemptus*

 

Viendo ese dato supongo que intentar acercarse al cero absoluto será como acercarse al eje de una asíntota no?

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Viendo ese dato supongo que intentar acercarse al cero absoluto será como acercarse al eje de una asíntota no?

Más o menos así es. La culpa es de la entropía, como bien señala minardif1. Pero en realidad lo que pasa es que la escala de temperaturas no está escogida de modo que represente la realidad física de la mejor manera posible. Más sobre esto después.

 

*Exemptus*

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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El cero absoluto no es alcanzable en un sistema físico, y de hecho no tiene sentido hablar de temperaturas "negativas", salvo en un tipo de casos que luego comentaré. Vamos a ver esto con algo más de detalle. Antes de nada, conviene leerse una explicación de lo que es la entropía desde el punto de vista microscópico. Como ya la di en su momento, la aprovecho aquí.

Estamos acostumbrados a la definición de Boltzmann de "temperatura" como una medida de la energía cinética media de las moléculas o átomos de un material. Es una visión sencilla de visualizar: nos imaginamos un gas como un conjunto de bolitas pequeñas que se mueven disparadas chocando con lo que pillan por el camino. Si se mueven más despacio, entonces las fuerzas electromagnéticas entre moléculas empiezan a tener influencia sobre el movimiento de las mismas porque a éstas les resulta cada vez más difícil escapar de la influencia de sus campos mutuos. Si van lo suficientemente despacio, las moléculas se agrupan y resbalan unas sobre otras. Tenemos un líquido. Y si van aún más despacio, de modo que básicamente no se apartan apenas de un punto salvo que pueden rotar y vibrar alrededor del mismo, entonces tenemos un sólido. De ahí la noción intuitiva de que todo material, si se enfría lo suficente, acaba haciéndose sólido.

Pero esto tiene un problema: el helio líquido no se solidifica.

No lo hace, no. Ya puedes enfriarlo hasta los 100 picokelvins famosos del record mundial, que no hace ni caso: permanecerá obstinadamente líquido a una atmósfera de presión. Ningún otro elemento se comporta así. ¿Qué es lo que pasa con el helio? No es porque sea un elemento ligero: el hidrógeno sí se solidifica.

La respuesta es que la Mecánica Cuántica asoma su negra cabeza y nos muerde cuando menos lo esperamos. Teóricamente, el cero absoluto es el punto de entropía mínima de un sistema, por convenio tomada como origen de la escala de entropías. Esto es así por la definición de Helmholtz: el número de microestados compatibles con el macroestado de los átomos "quietos paraos" es uno, así que su logaritmo es cero. No hay más tu tía. Así que en el cero absoluto los átomos tienen energía mecanocuántica igual a cero.

Sólo que esto *no puede ser realmente cierto*. El Principio de Incertidumbre establece que en el momento en que una partícula tiene una posición bien definida con cierta precisión, su momento lineal no está bien definido, con la misma cierta precisión. Un átomo totalmente "quieto" por lo tanto tiene una incertidumbre infinita en su momento lineal, lo cual es autocontradictorio porque significaría que de hecho se mueve como loco. No hay manera de salir de esto a menos que uno llegue a la conclusión inevitable de que los átomos de hecho no pueden estar quietos *nunca*. Incluso en el estado teórico fundamental de entropía cero, debe existir una incertidumbre en la energía cinética de los mismos.

Pues bien: el helio tiene la particularidad de que la incertidumbre en la energía cinética es suficiente para convertirlo en un líquido a la presión atmosférica (esto tiene que ver con el hecho de que no sea un átomo polar, por supuesto, así que apenas hay fuerzas de van der Waals que liguen los átomos a un retículo cristalino; por eso el hidrógeno, cuya molécuila es polar, no se comporta así).

Hay una explicación clásica en termodinámica teórica por la que ningún proceso puede ser capaz de alcanzar el estado de entropía cero. Un proceso que no intercambie calor de ningún tipo (lo que se denomina un proceso adiabático) tenderá a no involucrar cambios de entropía cerca del cero absoluto. Las sustancias puras son cristales perfectos, de modo que un proceso adiabático no puede cambiar esto porque no hay variación en la energía cinética promedio (o en el número de microestados, etcétera).

Pues bien, es un hecho que las curvas adiabáticas de un sistema nunca se intersectan (estaría bueno; de ser así, se podría establecer un ciclo que extrajera energía de la nada). La Tercera Ley de la Termodinámica (postulado de Nernst) viene a decir que la curva adiabática de entropía cero coincide con la curva isoterma de temperatura cero. Pero entonces esta curva es de hecho asintótica: ninguna otra adiabática (a temperatura distinta de cero) puede intersectarla. Lo cual quiere decir que ningún proceso que commience a temperatura distinta de cero puede alcanzar nunca temperatura cero en un número finito de pasos.

El mismo argumento se puede hacer con la energía libre del sistema (o función de Gibbs). Si el cambio de entropía de un proceso tiende a cero, entonces la energía libre del sistema tiende a igualar a la entalpía del mismo, hasta que no puede haber cambio ninguno de temperatura si no hay diferencia entre ambas funciones. No entro en detalles.

Hasta aquí la explicación clásica. Sin embargo, hay dos cositas que conviene mencionar:

* Escala lineal versus logarítmica.

La escala de temperaturas absoluta que se usa en Física es lineal: empieza en el cero y sube. Esto es así porque no es más que un reescalado de la escala Celsius a la que estamos acostumbrados. La unidad de temperatura es un kelvin, que se define como exactamente la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua (un punto de referencia en el diagrama de estados del agua que es fácilmente reproducible en el laboratorio). Pero un kelvin es sencialmente del mismo tamaño que un grado Celsius: entre el punto de fusión y el de ebullición del agua hay cien divisiones iguales en ambas escalas. Sólo cambia dónde está el cero.

Sin embargo, esto no tendría por qué ser así. Si uno quiere enfriar algo, tiene que saltar de curva adiabática: hay que quitar calor, y eso exige quitárselo a algo y transferirlo al ambiente con disminución de entropía, y eso a su vez exige un gasto de energía. Para disminuir la temperatura de un sistema en un kelvin no siempre hay que invertir la misma cantidad de energía: en ese caso llegar a entropía cero sería trivial (bastaría con "forzar la maquinaria", como ha dicho Aeo). La energía de intercambio involucrada en el proceso es mayor cuanta menor sea la temperatura, de hecho.

Entonces lo lógico sería usar una escala de temperaturas logarítmica. Nos ahorraría un montón de problemas de comprensión y sería más adecuada para describir la física subyacente. En una escala logarítmica, los "grados" son más grandes a medida que la escala disminuye. El cero de la escala pasaría a ser menos infinito, haciendo entonces intuitivo el hecho de que no existe una temperatura mínima de entropía cero.

En el fondo, muchas de las incomprensiones que presenta la gente con la Física son debidas a que no se usan las escalas adecuadas. ¿Por qué no se puede superar la velocidad de la luz? Porque la escala de velocidades *no es lineal*. Se comporta de hecho como una escala asintótica representable como una función irracional determinada. ¿Por qué la temperatura cero no es alcanzable? ¡Por lo mismo! ¡La escala de temperaturas, en realidad, no es lineal con respecto a la energía! Y sospecho fuertemente que la cuestión del "origen del tiempo" se reduce, en el fondo, a que también el tiempo debería ser medido en una escala no lineal a medida que nos retrotraemos al Big Bang. Pero esto último ya es especulación mía, no es doctrina.

* ¿Temperaturas menores que el cero absoluto?

La gracia que tiene la definición de entropía usada en mecánica estadística es que si por alguna razón una aportación de energía a un sistema lo que consigue es *disminuir* el número de microestados compatibles con un macroestado dado, entonces no hay manera de asignar una temperatura significativa. Esto nunca sucede, por supuesto, a menos que el número de estados de energía posibles del sistema sea finito, cosa imposible en física clasica. Pero en física cuántica las cosas son muy diferentes. Por supuesto que un sistema puede tener un número finito de estados de energía: de hecho es lo habitual. Los spins de una partícula, por ejemplo, son estados discretos que corresponden al mismo nivel de energía interna.

Un material magnético librado a sí mismo tenderá a estar en un estado de entropía máxima: es por tanto de esperar que más o menos la mitad de los spins sean positivos y la otra mitad negativos, ya que esto es lo que maximiza el número de microestados compatibles. Pero si aplicamos un campo magnético externo, ¿qué sucede? que los spins tienden a alinearse todos con el mismo signo, en la dirección del campo. La aplicación de energía ha *disminuido* la entropía. Si aplicamos la definición de temperatura a esto, resulta que ¡sale negativa!

Esto es normal: no hay nada de qué alarmarse. Fijémonos en que la noción de "temperatura" que estamos usando no es la de la energía cinética de las partículas, sino la mecanoestadística, que se aplica en contextos más amplios. Sistemas como los láseres de hecho pueden caracterizarse con este tipo de temperaturas.

En cierto modo, las temperaturas negativas no es que sean menores que el cero absoluto en el sentido termodinámico: es más bien que son mayores que infinito. Esto es culpa de la dichosa escala lineal, que no debería ser utilizada. Por desgracia es complicado de explicar: tiene que ver con el hecho de que la distribución finita de estados de energía a temperatura "infinita" es una determinada y cabe ordenar los estados como el que he descrito antes por encima de ella porque es lo lógico.

No obstante, para qué meterse a explicar esto cuando hay páginas que lo explican de modo excelente: por ejemplo, esta misma (en inglés, eso sí).

* ¿Existe una temperatura máxima?

No en física clásica. Como siempre, la física cuántica enreda bastante las cosas. Por razones en las que prefiero no entrar, no tiene mucho sentido cuántico que un sistema posea una temperatura superior a la masa de Planck por el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío partido por la constante de Boltzmann, lo cual se denomina "temperatura de Planck" y vale unos 1,417.10^32 kelvins. Más arriba de este punto se deshace la estructura de la gravedad cuántica por culpa del Principio de Incertidumbre. Pero creo que ya basta.

*Exemptus*

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pato115 TERRESTRIS VERITAS

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...

f(x,y) = x²+y²;

g(x,y) = (6-x²-y²);

 

Se puede comprobar que las superficies son ortogonales sin más que calcular sus gradientes: tenemos

 

grad f(x,y) = (2x,2y) --> grad f(1,1) = (2,2)

grad g(x,y) = (-x/(6-x²-y²), -y/(6-x²-y²)) --> grad g(1,1) = (-1/2,-1/2)

 

De modo que el producto escalar de ambos gradientes es nulo. Ergo, los gradientes son dos vectores ortogonales en (1,1,2).

 

El punto (1,1,2) es común a ambas superficies, así que vamos a hacer los cálculos ahí. Se puede comprobar que el plano x = y es mutuamente ortogonal a ambas superficies y contiene a ambos vectores gradiente, de modo que la intersección de éstas con dicho plano son las funciones bidimensionales que nos interesan. Éstas son:

 

F(x) = 2x²;

G(x) = (6-2x²);

 

Lo cual es lógico, porque la primera es un paraboloide de hoja simple (cuya sección es una parábola) y la segunda es una semiesfera (cuya sección es una circunferencia). Sus derivadas son

 

F'(x) = 4x;

G(x) = -2x / (6-2x²);

...

*Exemptus*

 

Gracais Exemptus. Hay algo que no me quedó claro: cuando derivas con respecto a x las curvas contenidas en el plano x=y en realidad no estas obteniendo la derivada direccional, pues esta se obtiene al hacer:

 

*Derivada curva 1 a lo largo del vector u=i+j ====> el ángulo en que se deriva es 45º, luego la derivada es D1=fx(1,1)*cos(45º)+fy(1,1)*sen(45º)=2*(2)/2 + 2*(2)/2 =2(2).

*Luego, la derivada direccional de la otra curva es D2=-1/2 * (2)/2 - 1/2 * (2)/2 = -(2)/2.

 

Tampoco se cumple, en eso tienes razón, pero lo que no entiendo es la razón de por qué esto no se cumple. Siguiendo tu razonamiento lo entiendo, pero resulta que lo que haces no es la derivada direccional. Así, agradecería si me aclararas el asunto un poco y perdona por mi insistencia.

Aquí dejo un gráfico de las funciones que propones por si sirve de algo:

http://a.imagehost.o...ew/0870/gr_fica

Gracias.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Hay algo que no me quedó claro: cuando derivas con respecto a x las curvas contenidas en el plano x=y en realidad no estas obteniendo la derivada direccional

No no, claro que no. Lo que pretendo es hallar las derivadas ordinarias de las funciones bidimensionales en el plano de corte, sólo para ver si éstas son ortogonales ahí. Resulta que no lo son, así que el criterio no funciona como se pensaba. No hace falta hallar las derivadas direccionales si ya las funciones bidimensionales no son ortogonales cuando las superficies 3D sí que lo son.

 

En cuanto a explicar por qué no sale el mismo resultado, no sé qué decirte. ¿Cómo explico por qué dos cosas no son iguales cuando yo mismo no veo por qué deberían serlo? Desde el minuto cero que entendí lo que estabas sugiriendo mi intuición permaneció obstinadamente reacia a aceptar la igualdad de estas cosas como algo evidente. Sin embargo, de la definición de derivada direccional aparentemente se debería seguir que las funciones bidimensionales también son ortogonales, pero por lo visto no es así. Yo también estoy algo desconcertado con este tema. Lamento no ser de mucha ayuda con la duda principal. Lo único que te puedo decir es que dejaré abierta esta cuestión por si antes o después acabo viéndolo claro. Ahora mismo no me atrevo a decirte nada concreto.

 

*Exemptus*

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pato115 TERRESTRIS VERITAS

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Gracias exemptus, has sido de mucha ayúda. Si algún día encuentras algo más postéalo.

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ozma Ornstein y Smough

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vida restante: 100%
Paso a plantear una pregunta de astrofísica, que seguramente sea sencilla pero estoy empezando a relacionarme con los sistemas de coordenadas no inerciales y todavía no tengo muy buena relación con ellos :D (espero no plantear ninguna burrada ^^)

Es sabido que la velocidad de rotación terrestre es aprovechada en la puesta en órbita de satelites artificiales, así los lanzamientos desde el ecuador terrestre (donde la velocidad de rotación es mayor) pueden aprovechar al máximo este impulso extra hacia el este, necesitando un menor gasto de combustible para alcanzar la velocidad orbital.

Mi pregunta es si este impulso también afecta a la velocidad de escape de un proyectil lanzado desde la superficie terrestre. Dicho de una manera simple, ¿si lanzo una piedra en el ecuador terrestre hacia el este necesitaré lanzarla a menor velocidad para que escape del campo gravitatorio terrestre que si la lanzo hacia el oeste?

Ya sé que la deducción de la velocidad de escape se basa en consideraciones energéticas en las que poco importa la dirección del lanzamiento o la masa del proyectíl, pero mi duda es si la velocidad de escape esta referenciada a un punto fijo de la superficie terrestre (y que por tanto rote con esta) o si la tierra debe ser tomada como una esfera inmóvil, en la situación más sencilla de cálculo (ve=Sqrt[2gR]).

Estaríamos hablando de diferencias en la velocidad de escape en torno a unos 0.5 km/s (aprox. velocidad de rotación terrestre en el ecuador), sobre unos 11,2km/s (aprox. velocidad de escape en la superficie terrestre) todo esto despreciando claro está el rozamiento con la atmósfera terrestre.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Es sabido que la velocidad de rotación terrestre es aprovechada en la puesta en órbita de satelites artificiales, así los lanzamientos desde el ecuador terrestre (donde la velocidad de rotación es mayor) pueden aprovechar al máximo este impulso extra hacia el este, necesitando un menor gasto de combustible para alcanzar la velocidad orbital.

 

Mi pregunta es si este impulso también afecta a la velocidad de escape de un proyectil lanzado desde la superficie terrestre. Dicho de una manera simple, ¿si lanzo una piedra en el ecuador terrestre hacia el este necesitaré lanzarla a menor velocidad para que escape del campo gravitatorio terrestre que si la lanzo hacia el oeste?

Coño, yo que leo "una pregunta de astrofísica" y ya me esperaba alguna cuestión abstrusa acerca de estrellas de neutrones o magnetohidrodinámica de plasmas. Ésta es una pregunta sencilla de mecánica general. Veamos.

 

La respuesta estricta es que sí, así es. La velocidad de escape se define como la velocidad inicial requerida para ir desde un punto inicial en un potencial gravitatorio hasta el infinito con velocidad residual cero, medido todo usando un sistema de referencia inercial respecto al campo (esto es importante). Naturalmente, dada esta definición, la velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo en rotación depende de la dirección de la trayectoria del proyectil.

 

La velocidad lineal de rotación de la Tierra es de unos 460 m/s en el Ecuador. Un proyectil lanzado desde el Ecuador en dirección Este, por tanto, requiere una velocidad de escape menor que uno lanzado en dirección Oeste. Desde la superficie, la velocidad de escape crece con el coseno de la latitud, de modo que los puntos de lanzamientos están todo lo cercanos al Ecuador que resulta logísticamente posible, teniendo en cuenta que en la elección de una base de lanzamiento entran muchos otros factores como el clima.

 

Por supuesto, hay factores que afectan la velocidad de escape en mayor medida que la dirección este-oeste: el rozamiento del aire es uno de ellos (nada de lanzar cuando hay nubes densas encima o vientos en altitud), y el hecho de que la Tierra y la Luna forman un sistema en movimiento es otro: dependiendo de la posición de la Luna, hay ventanas de lanzamiento mucho más favorables energéticamente que otras. Estos factores son tenidos muy en cuenta por los ingenieros de vuelo a la hora de planificar lanzamientos.

 

*Exemptus*

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