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exemptus

Consultorio sobre Física y Matemáticas

Publicaciones recomendadas

exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Una duda, si uso el método del módulo, al menos el último tramo de números que con el primer método no cubrías, queda englobado no? Lo digo porque a lo mejor es mejor sacrificar una pequeña diferencia en las probabilidades que dejar una cantidad de números sin cubrir.

Date cuenta de que has puesto como condición previa que todos deben tener la misma probabilidad de ganar, así que me he ajustado a ese requisito. Si se relaja esa norma, entonces ya depende de lo que tú encuentres preferible.

 

Muy buenas exemptus, me gustaría que me ayudaras a hacer esto, simplemente la fórmula o lo que se tenga que hacer, quiero resolverlo yo y que me digas después que tal lo he hecho.

Lo siento mucho, pero esto es claramente una cuestión académica, así que se escapa del alcance de este hilo (además esto ya es Estadística propiamente dicha). Calca la pregunta en el hilo de ayudas para estudios y allí te contesto.

 

*Exemptus*

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Aeo Ornstein y Smough

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Una duda, si uso el método del módulo, al menos el último tramo de números que con el primer método no cubrías, queda englobado no? Lo digo porque a lo mejor es mejor sacrificar una pequeña diferencia en las probabilidades que dejar una cantidad de números sin cubrir.

Date cuenta de que has puesto como condición previa que todos deben tener la misma probabilidad de ganar, así que me he ajustado a ese requisito. Si se relaja esa norma, entonces ya depende de lo que tú encuentres preferible.

 

Eso es cierto, gracias exe!

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pcma IGNIS EXCUBITOR

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Hola, exemptus :)

Como ya te pregunté por MP, no estaba seguro si este tema entraba en el campo de la Física, pero parece que sí :D Me gustaría saber por qué vemos chipas (luz) cuando se juntan dos cables o en un encendedor al accionarlo.

He tenido esta duda desde hace tiempo y no he conseguido solucionarla. Te agradezco mucho de antemano, este post me gusta :D

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Me gustaría saber por qué vemos chipas (luz) cuando se juntan dos cables o en un encendedor al accionarlo.

Bueno, la materia está compuesta por átomos. Los átomos poseen un número de electrones ligados a los mismos, pero esto no quiere decir que estén unidos en santo matrimonio por siempre: si a un electrón le dan suficiente energía, se escapa del átomo y vuela libre, por así decirlo.

 

Cualquier sistema físico, librado a sí mismo, siempre trata de estar en el estado de energía interna más bajo posible. Los electrones de un átomo también, pero resulta que por razones de mecánica cuántica en las que no hace falta entrar, se cumple que:

 

1. Un electrón asociado a un átomo tiene un nivel de energía que no puede ser cualquiera, sino que por narices tiene que estar en una lista ordenada de niveles de energía, del más bajo posible (llamado "nivel fundamental") al infinito. Pero son niveles separados, no puede haber electrones con una energía a medias entre dos niveles.

 

2. Sólo "caben" un número limitado de electrones en cada nivel. Así que los electrones se van distribuyendo sen los niveles llenando todos los más bajos y luego los superiores, hasta que se acaban los electrones.

 

Evidentemente, el núcleo de un átomo tiene una carga positiva determinada, la que sea (depende del átomo), y puede acomodar tantos electrones (que tienen carga opuesta) como para anular la carga del núcleo. Pero no necesariamente este número. Puede haber más o puede haber menos, en cuyo caso tenemos un ión, en lugar de un átomo neutro.

 

El caso es que los electrones se pueden mover entre los distintos niveles de energía. Además estos niveles no están igualmente espaciados: a medida que suben, están más y más juntos, hasta que de hecho más allá de una energía dada el electrón ya deja de estar sujeto al núcleo y se va libre.

 

Pues bien: para que se pueda mover entre niveles, un electrón tiene que absorber o emitir energía. Esto lo hace con fotones, que son los constituyentes de la luz. Cada fotón es una unidad indivisible de energía. Los fotones viajan libres por el espacio hasta que topan con las cercanías de un átomo. En este caso puede dar la casualidad de que lo absorba un electrón.

 

Al absorber el electrón un fotón, el electrón gana energía, con lo cual "sube de nivel", dejando un hueco donde estaba. El átomo ya no está en el estado fundamental: se dice que está en un "estado excitado". Si nadie hace nada, al cabo de un rato el electrón tendrá una tendencia natural a volver al nivel del cual salió, ya que hay un hueco para él (que es el que él mismo, u otro electrón, abandonó), pero para ello tiene que perder energía. ¿Qué hace entonces? Pues se libra de la energía que le sobra, que es justo la diferencia que hay entre los dos niveles. Esto lo hace emitiendo un fotón.

 

Es decir, que algunos átomos absorben luz de forma natural: de hecho sus electrones la absorben, pasando a un estado excitado. Después, si no pasa nada más, la vuelven a emitir. Lo mismo pasa a nivel molecular: las moléculas también tienen niveles de energía y se comportan de la misma forma. Algunas sustancias hacen esto muy fácilmente; con otras no hay manera, debido al modo en que están orientados los campos eléctricos dentro de la red cristalina del material. Las sustancias que hacen esto muy fácilmente se denominan fluorescentes, como la pintura de los relojes.

 

El caso es que si hay un desplazamiento masivo de electrones de un átomo a otro, o entre los diversos átomos o moléculas de una red en un material, habrá núcleos que atrapen algunos de esos electrones. Y al pasar éstos al nivel fundamental, emitirán luz.

 

Cuando cerramos un circuito eléctrico estamos provocando uno de esos desplazamientos masivos. A nivel molecular, un conductor eléctrico tiene una red cristalina formada por iones y un montón de electrones sueltos que formaban parte de los niveles superiores de los átomos cuando éstos estaban solos, pero que al formarse la red (en un metal, por ejemplo) quedan liberados a nivel molecular porque al material le es más fácil organizarse con átomos a los que les faltan electrones. Estos electrones sueltos son los que luego forman la corriente eléctrica.

 

Pero cuando se produce esta corriente, lo que se hace en realidad es juntar dos trozos de material conductor que usualmente están separados por un aislante (el aire). En realidad, ningún material es aislante, lo que pasa es que para que los electrones se desprendan de sus átomos y circulen libres hace falta muchísima cantidad de energía para algunos materiales. Para los metales hace falta muy poca, así que éstos son conductores sin esfuerzo alguno. Pero el aire no es así: sus moléculas retienen celosamente a todos sus electrones. Hace falta superar lo que se llama "potencial de ruptura dieléctrica" del aire para que sus moléculas se rompan y éste se convierta en conductor. Pero si acumulamos suficiente cantidad de corriente, esto es precisamente lo que sucede. Esto es mucho más fácil si el espacio que tienen que recorrer los electrones es pequeño.

 

Al acercar dos conductores con corriente, llega un momento en que los electrones de uno pueden pasar a los del otro, antes de que se toquen: el potencial eléctrico es tan elevado que las moléculas del aire se rompen, avasalladas por la avalancha de electrones provenientes del conductor. Estos electrones se estrellan masivamente contra las moléculas del aire, desplazando los electrones propios de las mismas y dejando huecos: el aire se ioniza.

 

Esta ionización hace que el aire ya no está compuesto de moléculas neutras en las cercanías de los conductores: ahora sus moléculas están cargadas (puesto que les faltan electrones), y por tanto son sensibles al campo eléctrico que se ha formado entre los conductores. Y, por tanto, se mueven. Violentamente. Esta transferencia de energía del potencial del campo en cinética hace que la energía interna de los iones disminuya, lo cual a su vez les hace atrapar alguno de los electrones libres que hay alrededor y, dado que hay huecos en los niveles bajos de energía del ión, el electrón emite fotones hasta que pierde la energía necesaria y se acomoda en el nivel bajo.

 

Es decir: se emite luz. Esto es la chispa. O el arco voltaico, que viene a ser el mismo fenómeno. Todo esto sucede en milésimas de segundo: en cuanto los conductores se tocan, los electrones pasan ya de uno a otro sin impactar con las moléculas de aire alrededor, así que ya no hay chispa.

 

Un rayo es el mismo fenómeno: entre nube y tierra se acumula tal cantidad de potencial eléctrico que la energía acumulada rompe todas las moléculas de aire entre medias y se forma una "grieta" en el aire por la que los iones circulan transfiriendo la carga de un lado a otro (la explicación está MUY simplificada, pero en esencia es esto). La luz que ves es la de los iones volviendo a absorber los electrones de alrededor y emitiendo fotones para volver al estado fundamental. Una vez transferida la carga, el potencial disminuye y baja por debajo del umbral de ruptura dieléctrica, con lo cual el aire ya vuelve a ser aislante.

 

*Exemptus*

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Salvor Hardin Alcalde de Términus

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Hola.

¿Por qué costó tanto demostrar la conjetura de poincaré para la hiperesfera en el espacio de dimensión 4? Me resulta esquiva la idea de que varias décadas antes estuviera demostrado para todo caso menos para los espacios de dimensión 4 y 5, no sé si me podrías aclarar que tenía de "particular" la conjetura original.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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¿Por qué costó tanto demostrar la conjetura de poincaré para la hiperesfera en el espacio de dimensión 4? Me resulta esquiva la idea de que varias décadas antes estuviera demostrado para todo caso menos para los espacios de dimensión 4 y 5, no sé si me podrías aclarar que tenía de "particular" la conjetura original.

¡Buena pregunta! Uno se podría preguntar si es cosa de la conjetura en sí, porque a primera vista pudiera parecer que demostrar un resultado topológico en dimensionalidad elevada debería der más difícil que hacerlo en dimensionalidad baja.

 

Pero, verás, te voy a contar un secreto: no es cosa de la conjetura. Muchos otros problemas comparten esta propiedad de ser mucho más difíciles de resolver en dimensión 3.

 

Antes de nada, un poco de historia. A finales del siglo XIX la topología de las superficies (o variedades 2-dimensionales) se entendía bastante bien. Las superficies estaban clasificadas en una lista corta que caracterizaba todas las posibles superficies diferenciables, orientables y compactas. Toda superficie tiene un género g >= 0 bien definido, que intuitivamente es el número de "túneles" o agujeros que forma. Cualquier cosa homeomorfa a una esfera tiene género 0; cualquier cosa homeomorfa a un toro (donut) tiene género 1, etcétera. Todo muy simple y muy bonito.

 

La correspondiente pregunta para variedades 3-dimensionales es harina de otro costal. Henri Poincaré fue el primero en elaborar un intento de estudio sistemático de éstas. Notó que una propiedad de todas las variedades 2-dimensionales homeomorfas a una esfera es que son "simplemente conexas": toda curva cerrada sobre las mismas puede deformarse de modo continuo a un punto. Y recíprocamente, si una variedad es simplemente conexa, entonces es homeomorfa a una esfera.

 

La conjetura que hizo fue: ¿esta propiedad de hecho *implica* la homeomorfía para cualquier dimensión? Es decir: si toda curva cerrada sobre una variedad n-dimensional puede deformarse continuamente a un punto, ¿es la variedad necesariamente homeomorfa a una hiperesfera?

 

La aparente facilidad de la cuestión hizo que muchos atacaran la misma. Por desgracia, es engañosa. El propio Poincaré publicó una presunta demostración, pero años después él mismo se dio cuenta de que no servía. El problema, en términos básicos, es que una variedad 3-dimensional puede formar nudos, y éstos no son precisamente sencillos de manejar.

 

Treinta años después, Henry Whitehead hizo otro intento en dimensión 3, también fallido: pero su fallo fue muy iluminador. La cosa es bastante técnica. Parte de su demostración estaba basada en el lema siguiente: Toda variedad 3-dimensional abierta que sea contraíble a un punto de forma continua es homeomorfa a R^3. Sin embargo, resulta que él mismo también descubrió que este lema, aunque intuitivo, es falso. Consideremos dos toros tridimensionales entrelazados, T_0 y T_1*, tal y como se muestra en esta figura:

 

Imagen Enviada

 

Individualmente, tanto T_0 como T_1* no están anudados. En particular, dado que T_1* no forma un nudo, su complemento con respecto a una esfera que contenga a ambos toros, T_1 = S_3 \ interior(T_1*), es otro toro no anudado que contiene a T_0. Entonces, existirá un homeomorfismo de la esfera cuyo dominio sea T_0 y cuya imagen sea T_1: es decir, tiene que haber manera de deformar de modo continuo T_0 en T_1. Entonces, de forma inductiva, se puede contruir una sucesión creciente de toros (voy a usar el símbolo

 

T_0

 

donde T_{k+1} es la imagen de T_k bajo el homeomorfismo mencionado. Todos estos toros están contenidos en la esfera S_3 original, y su unión M es una variedad 3-dimensional contraíble a un punto, porque todo lazo cerrado en T_0 puede ser contraido a un punto en T_1, y todo lazo en la unión M está en algún T_k, así que puede ser contraído a un punto dentro de T_{k+1}. Pero si K es un subconjunto compacto de M que contiene a T_0, entonces M \ K no es simplemente conexo; por tanto, M jamás puede ser homeomorfo a R^3.

 

El problema es que la topología de las variedades 3-dimensionales ni es lo suficientemente simple para permitir pocos grados de libertad para las mismas, en cuyo caso hay pocas posibilidades y son fácilmente clasificables, ni es lo suficientemente potente para "deshacer los nudos". Fíjate en que no hay modo de anudar una curva en dimensión 4. Una variedad de dimensión 3 anudada sobre sí misma no se puede deformar a una esfera sin que su superficie se intersecte a sí misma. Pero esa misma variedad, sumergida en un espacio de dimensión 4, sí puede deformarse en una esfera sin necesidad alguna de que su superficie se corte a sí misma. Intuitivamente hablando, hay muchas "direcciones" distintas hacia las que deformar el nudo, lo cual permite hacer maniobras que en 3 dimensiones son imposibles. En cierto modo, la dimensión 3 alcanza un compromiso entre dificultad de maniobra debido a las restricciones impuestas (no hay los suficientes homeomorfismos para salir del paso) y complejidad de las posibilidades (las superficies se pueden anudar entre sí de formas muy complicadas).

 

Otros treinta años pasaron hasta que Stephen Smale, hacia 1960, se dio cuenta de esto mismo, y por tanto que el problema era mucho más fácil de resolver en dimensiones lo suficientemente elevadas, ya que, por muy complicados que fueran los nudos que pudieras hacer, el número de homeomorfismos posibles era tan grande que siempre había una manera de deshacerlos limpiamente.

 

Es posible formalizar esto algebraicamente. En Topología, los nudos se clasifican por medio de grupos. El grupo fundamental de un nudo juega un papel muy importante en todas las dimensiones incluso cuando es trivial, y las relaciones entre los generadores del grupo corresponden geométricamente a discos bidimensionales que es posible aplicar sobre la variedad. Pues bien, es posible probar que en dimensión 5 o superior, estos discos siempre pueden escogerse de modo que sean disjuntos, pero en dimensiones 3 ó 4, esto no siempre es posible; y el hecho de que existan intersecciones entre estos discos es lo que lleva a dificultades enormes a la hora de intentar demostrar la conjetura.

 

Usando métodos algebraicos, Stephen Smale probó que la conjetura de Poincaré era cierta para toda dimensión igual o mayor que 7. El hecho de que fuera 7 y no 5 responde a detalles técnicos. Poco después surgieros otras dos demostraciones, de John Stallings y Andrew Wallace, usando diferentes métodos. Chris Zeeman fue capaz posteriormente de usar ideas de las tres demostraciones para solventar los detalles técnicos y extender la demostración a dimensiones 5 y 6.

 

Pero las dimensiones 3 y 4 permanecían sin atacar, dados los problemas de manejo descritos antes. El caso de dimensión 4 tuvo que esperar otros veinte años, hasta principios de los 80. En dimensión 4, el método algebraico de usar los grupos fundamentales de variedades diferenciables, que funciona bien en dimensión elevada, no sirve. Michael Freedman fue el primero que atacó sistemáticamente el problema de dimensión 4, pero se vio forzado a usar variedades no diferenciables con comportamientos bastante salvajes. No obstante, mientras se comía la cabeza tratando de encontrar una salida hizo un descubrimiento fundamental: todas las variedades 4-dimensionales cerradas simplemente conexas podían clasificarse de acuerdo a dos invariantes, en lugar de sólo uno como era el grupo fundamental. El grupo interno de cohomología de una variedad tal siempre es abeliano libre (los grupos abelianos libres se caracterizan fácilmente), y Freedman descubrió que la variedad era homeomorfa a una 4-esfera sólo si el grupo era trivial; la suficiencia la aportaba el otro invariante (llamado Kirby-Siebenmann: el producto cuña del producto tensorial del grupo de cohomología por sí mismo, considerado como módulo sobre los enteros, que resultaba ser un entero módulo 2; e igual a cero si y sólo si existía una estructura diferenciable en el producto de la variedad con R).

 

Aunque este trabajo permitió a Freedman demostrar la Conjetura para dimensión 4, queda mucho terreno sin cubrir en este área. Los modelos diferenciables o lineales por trozos en dimensión 4 son mucho más difíciles. Por ejemplo, no se sabe si toda 4-esfera con homotopías arbitrariamente diferenciables es de hecho difeomorfa (topológicamente equivalente y además con estructura diferenciable idéntica) con S_4. Tampoco se sabe exactamente qué variedades 4-dimensionales con invariante Kirby-Siebenmann 0 son diferenciables. Mucho menos si cuando lo son la estructura diferenciable es única. Se puede demostrar que R^4 admite un cardinal no numerable de estructuras diferenciales no equivalentes, lo cual da una idea de las dificultades fundamentales inherentes al proceso.

 

Y así llegamos a dimensión 3, donde las discrepancias entre los modelos topológico, diferenciable y lineal a trozos desaparecen, pero las dificultades con el grupo fundamental se van fuera de bolos. El problema es que, debido a los nudos, el grupo fundamental aquí es esencialmente cualquiera. Y no sabemos mucho acerca de la clasificación de grupos arbitrarios; ni siquiera de grupos abelianos finitos arbitrarios. Aunque se tiene una idea bastante razonable de la clasificación de los grupos involucrados en los nudos, ni de lejos ésta permite deducir la Conjetura de Poincaré en el caso de dimensión 3.

 

Por tanto, no es raro que fuera necesaria una aproximación completamente diferente al problema. Anderson, Hamilton y por último Perelman utilizaron una estrategia basada en geometría diferencial: básicamente se dedicaron a estudiar la geometría del espacio de dimensión infinita consistente en todas las métricas de Riemann definibles en una variedad 3-dimensional compacta, diferenciable y orientable. Esta aproximación permitió a Hamilton establecer una conjetura llamada de Eliptización: las métricas solución (llamadas flujos de Ricci) de determinada ecuación tensorial en el espacio de métricas de una variedad son caracterizables mediante el grupo fundamental de dicha variedad. Hamilton esperaba que en una variedad 3-dimensional con grupo fundamental finito, los flujos de Ricci con curvatura positiva tendieran siempre a reescalarse a curvatura nula en cierto proceso de paso al límite. Hamilton fue capaz de demostrar esto en todos los casos salvo en aquellos donde el proceso implicaba la aparición de singularidades en la variedad.

 

Perelman resolvió este último detalle técnico y demostró la Conjetura de Eliptización por completo; esto tiene toda la pinta de que también resuelve la Conjetura de Poincaré, porque los flujos de Ricci sobre una variedad eliptizable son en principio equivalentes a los definibles sobre una esfera. Con esto se cierra por completo el problema.

 

La particularidad de los espacios de dimensionalidad 3 y 4 respecto a los nudos y a las complicadas propiedades algebraicas de los grupos fundamentales de las variedades se refleja también en otros problemas, de formas menos evidentes. Por ejemplo, los problemas de empaquetado de esferas.

 

Por ejemplo: ¿Cuál es la densidad máxima de empaquetado de esferas en un espacio de dimensión n? Con más precisión: supongamos que tenemos un número arbitrario de (hiper)esferas de radio unidad. Si las organizamos en el espacio de forma (regular o irregular) que queden "lo más apretadas posible", sin intersección, ¿cuál es el máximo ratio por unidad de volumen que ocupan las esferas?

 

Este problema es sorprendentemente difícil de resolver en dimensión 3. De hecho, el propio Johannes Kepler estableció en el siglo XVII una conjetura acerca del mismo: básicamente, dijo que la máxima densidad posible era la misma que en el empaquetamiento cúbico centrado en las caras: concretamente el que se obtiene rodeando una esfera con otras doce, una densidad igual a / 18 0,7405. La Conjetura de Kepler permaneció sin resolver hasta 1998, cuando fue demostrada por Thomas Hales.

 

Sin embargo, los problemas de máxima densidad posible están resueltos desde hace muchos años en dimensión 4 a 8. Curiosamente, hay dimensiones para las que se ha podido demostrar que los empequetamientos más densos son irregulares, en lugar de regulares. Esto no es así en dimensión 3: se sabe que si metemos pelotas en una caja dejándolas caer al azar, jamás vamos a obtener una densidad de empaquetamiento superior a la del empaquetamiento regular más denso, que es / 18. Pero en dimensión 10 y superiores esto ya no es así: de hecho, por muy densamente que lo hagamos, hay empaquetamientos irregulares que son más densos que cualquier empaquetamiento regular.

 

¿Por qué este comportamiento? Porque hay "demasiado espacio" a partir de dimensión 9. Hay una manera sencilla y bastante radical de poner esto de manifiesto. Imaginemos que dibujamos n-esferas de radio 1 centradas en los vértices del hipercubo unidad, más otra en el origen que sea tangente a las demás, sin intersectarlas. Por ejemplo, en R^2 tendríamos cuatro círculos en (±1,±1) más otro pequeñín en (0,0), así:

 

Imagen Enviada

 

En dimensión 3, podemos imaginar un cubo dividido en octantes, una esfera en cada uno de ellos, y otra en el origen tangente a las demás, más pequeña también.

 

Parece intuitivamente claro que la (hiper)esfera central siempre va a ser más pequeña que las demás, ¿no es cierto? Después de todo, en dimensión 4 tenemos nada menos que 16 hiperesferas en los vértices del hipercubo, así que la esfera central tendrá también muy poco espacio.

 

Pues no. Error gran error. A medida que incrementamos la dimensión, la esfera central es más grande, no más pequeña. Esto es totalmente anti-intuitivo, pero es muy fácil de demostrar. ¿Cuál es el radio de la esfera central?

 

Bueno, la distancia al origen del centro de cualquiera de las hiperesferas en dimensión n es claramente n ya que es la distancia al centro del punto (1,1,...,1), de modo que, como estas esferas tienen radio 1, el radio de la esfera central será n - 1.

 

Pero entonces para n=4 tenemos que el radio de la esfera central es 4 - 1 = 1. La hiperesfera central es *idéntica* a las demás en dimensión 4, a pesar de ser tangente a las otras 16. De hecho, es tangente al hipercubo. Para n=9, el radio es 2, lo que quiere decir que la hiperesfera central en dimensión 9 se sale parcialmente del hipercubo con vértices unidad. En dimensión 10, la esfera de hecho *contiene* al hipercubo, aunque es imposible imaginar esta situación. Como decía antes, simplemente hay demasiado espacio, así que las esferas empaquetadas regularmente son menos densas que las irregulares porque entre ellas hay tanto espacio que podría contener a otras esferas iguales. :)

 

Esto es otro ejemplo que evidencia que el comportamiento geométrico de las cosas en dimensionalidad elevada no es ni mucho menos el que presenta en dimensionalidad baja. Son dos ejemplos muy diferentes, aunque en el fondo la premisa es la misma. Existen otros problemas con similares características a estos.

 

*Exemptus*

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davico_rosello ZEUS

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Hola, exemptus :)

 

Como ya te pregunté por MP, no estaba seguro si este tema entraba en el campo de la Física, pero parece que sí :D Me gustaría saber por qué vemos chipas (luz) cuando se juntan dos cables o en un encendedor al accionarlo.

 

He tenido esta duda desde hace tiempo y no he conseguido solucionarla. Te agradezco mucho de antemano, este post me gusta :D

 

sobre los cables, hay que diferenciar la chispa electrica, que magistralmente ya te explico exemptus-sama, de la chispa comun, que se ve caer como lluvia de estrellitas en determinadas ocaciones. esa no es mas que debido a los milisegundos de altisima temperatura debido al intercambio energetico y ionizacion del aire, que genera plasma, capaz de volatilizar el cobre de los cables, parte del cable se evapora, pero parte se derrite explosivamente, salpicando diminutas gotitas encendidas. sucede tambien que la electricidad al "salir" ejerce presion sobre la capa exterior del conductor, si este empuje es mayor que el de la fuerza de agregacion de las moleculas del conductor, pues por diferencia de presiones desprende parte de este, que con la temperatura se oxida, o se "quema" superficialmente, y produce la chispa quimica que podemos ver en forma de luz.

 

la de los encendedores, eso es porque usan una piedrita especial llamada pedernal, cuyos atomos estan dispuestos en capas, como en el grafito. al rasparlas, se desconpensa el equilibrio molecular de la superficie, rompiendo estos enlaces "debiles" (comparados con los enlaces "fuertes" en direccion perpendicular ), ionizandose, y este proceso (por lo explicado anteriormente) genera bastante calor pero por un corto tiempo. hay pedernales que calientan hasta 3000 grados C. cabe destacar que aca sucede lo inverso del chispaso electrico, en el caso del pedernal, es el desprendimiento de las capas debido a la presion lo que genera esa descarga electrica e inmediata subida de temperatura, solo que en este caso todo ese potencial electrico es transformado en calor y luz, y no en ionizar/deionizar el aire o creando el arco electrico. es decir, existe un mayor "rendimiento" porque no hay resistencia del aire que sortear, y ese poco diferencial electrico se ve reflejado en un mayor desempeño termico y luminico, y las chispitias son en escencia unicamente material desprendido y "quemandose".

 

hay otros encendedores que generan la chispa por el efecto piezoelectrico en un cristalito de cuarzo. hay materiales a los que, cuando se les ejerce presion, sus iones internos se giran, voltean o desplazan, de tal forma que, como en un iman, generan no un campo magnetico, sino electrico, es decir, unas caras del cristal queda con mas carga positiva que otra cara, que queda con mas carga negativa. ese diferencial electrico, si es muy grande y se genera en muy poco tiempo, genera el chispaso, que no es mas que los electrones que saltan y generan luz y calor. en el caso del cuarzo, cuyas fuerzas moleculares internas son muy fuertes, no ocurre el desprendimiento del material superficial visto en el cobre por ejemplo, asi que el chispaso es meramente electrico, y circunscrito a los terminales de la cabeza del encendedor (o tu dedo, o en mi caso, la lengua, nada aconsejable por cierto X-D). el efecto contrario tambien es valido, si sometes a un cristalito de cuarzo a un campo electrico, este vibra, y con la suerte de hacerlo a intervalos de tiempo muy definidos. esta es la razon verdadera de los "relojes de cuarzo", y no lo que yo creia cuando era crio, que el vidrio que los cubre era de ese material X-D

 

 

pd: como todo humano puedo haber metido la pata en algo, pido disculpas si asi fuera O:)


maxresdefault.jpg

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pato115 TERRESTRIS VERITAS

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Hola, nose si entrara aquí la pregunta, pero al no ser acerca de un ejercicio supongo que irá aquí.
Objetivo: Dadas dos funciones de dos variables independientes, averiguar si son ortogonales (edit: debe decir "...averiguar si las superficies que representan son ortogonales").

Resolviéndolo de una manera lo he resuleto correctamente, pero de la otra no.
La primera fue hallar las funciones vectoriales de los vectores normales a los planos tangentes en cada punto de cada función, luego hacer el producto escalar y ver que efectivamente se obtiene 0.
Ahora bien, el problema surge cuando lo quiero resolver análogamente a como se hacía en el plano (derivadas opuestas e inversas), pues, después de todo, usando el concepto de derivada direccional debería ser posible verificar la ortogonalidad al ver si el producto de las funciones derivadas direccional (funciones de "x", "y") para un mismo ángulo dado es -1, ya que en ese caso (mismo ángulo) no tenemos más que un plano, como en R2. Además debería ser coherente, pues las rectas tangentes están contenidas en un mismo plano en un punto dado, y sabemos por el primer método de resolución que los planos son tangentes en todo punto, de eso no hay dudas.
Sé que debe ser algo estúpido, pero no logro hallarle la respuesta.

Gracias.

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Salvor Hardin Alcalde de Términus

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¡Hostia Exemptus! ¡Se me había olvidado por completo la pregunta que te dejé! Pensaba que el hilo no había vuelo a ser reflotado desde mi mensaje.

Interesantísimo lo que has comentado, especialmente lo de los problemas de máxima densidad. Desde luego según leí en su momento la intrahistoria de la conjetura se me derrumbó la idea de la relación entre dimensionalidad y dificultad que intuitivamente poseía.

Muchas gracias por el curre.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Objetivo: Dadas dos funciones de dos variables independientes, averiguar si son ortogonales.

Entiendo por los comentarios que haces que en realidad el problema es probar que las *superficies* definidas por sendas funciones escalares en R² son ortogonales, no que las funciones sean ortogonales. No es lo mismo. De hecho el enunciado "probar que tal y cual funciones son ortogonales" es más bien un concepto de Análisis Funcional, como el que se utiliza para desarrollar en series de funciones ortogonales como las de Fourier. Tu problema es puramente geométrico entonces: te dan dos funciones de este tipo y tienes que probar que las superficies correspondientes son ortogonales.

 

Ahora bien, el problema surge cuando lo quiero resolver análogamente a como se hacía en el plano (derivadas opuestas e inversas), pues, después de todo, usando el concepto de derivada direccional debería ser posible verificar la ortogonalidad al ver si el producto de las funciones derivadas direccional (funciones de "x", "y") para un mismo ángulo dado es -1, ya que en ese caso (mismo ángulo) no tenemos más que un plano, como en R2.

¿Estás absolutamente seguro de eso? Porque no acabo de ver por qué tiene que ser necesariamente así. Las derivadas direccionales no se comportan en modo alguno como las derivadas de funciones en una variable. De hecho, estoy bastante convencido de que existen superficies ortogonales para las que el producto de las derivadas direccionales del mismo ángulo en un punto dado es nulo. La parte positiva de dos cuádricas confocales es un ejemplo de dos superficies mutuamente ortogonales pero dudo mucho que sus derivadas direccionales a ángulo constante tengan siempre un producto igual a -1. Se podría hacer un cálculo para verificar el presunto contraejemplo, pero es farragoso. Lo que se me escapa es la razón por la que crees que la condición que mencionas es necesaria para la ortogonalidad, porque la verdad es que no lo veo.

 

*Exemptus*

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pato115 TERRESTRIS VERITAS

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Gracias por responder y discúlpame por no haber puesto el número de cuestión anteriormente.
Con respecto a que es "superficies" ortogonales tienes razón.
Siguiendo con la cuestión trataré de explicarme mejor.
Si los planos tangentes, los cuales contienen las rectas tangentes, son perpendiculares entre ambas superficies en todo punto, las rectas también deberían serlo:
Imagen Enviada

El único problema podría presentarse en casos en que un plano sea paralelo al eje "z" (derivada direccional infinita).

P:D:Lamento seguir insistiendo en algo que debería ser intuitivo, pero parece que hoy no es mi día.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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vida restante: 100%

Si los planos tangentes, los cuales contienen las rectas tangentes, son perpendiculares entre ambas superficies en todo punto, las rectas también deberían serlo: [...] El único problema podría presentarse en casos en que un plano sea paralelo al eje "z" (derivada direccional infinita).

Eso es cierto, sí. Las rectas contenidas en sendos planos tangentes también son necesariamente ortogonales; podemos suponer que no hay planos paralelos al eje Z porque se pueden tratar como caso particular. Hasta ahí estamos de acuerdo. Lo que no acabo de ver es qué tienen que ver con este hecho las derivadas direccionales. Que yo sepa, una derivada direccional hay que tomarla con respecto a un vector. Estoy suponiendo que la tomas para cada función con repecto a un vector contenido en cada plano tangente.

 

Espera, creo que ya intuyo la idea que estás planteando. Estás intentando reducir el problema a uno bidimensional. Tomas dos vectores en los planos tangentes pero contenidos en un mismo plano que corta a ambas superficies, con lo cual las intersecciones de las superficies con ese plano serían funciones bidimensionales, y entonces lo que planteas es que el problema debería reducirse al caso de probar que dos funciones de una variable son ortogonales en un punto, lo cual se hace probando que sus derivadas son inversas y de signo contrario. ¿Es esta la idea?

 

Si es así, la dificultad que veo es que estás suponiendo que las derivadas direccionales correspondientes una vez calculadas son exactamente iguales que las derivadas ordinarias de las funciones bidimensionales. Pero ¿es esto verdad? Es una pregunta interesante. Entiendo que tu cuestión se reduce a demostrar este hecho concreto. ¿Se trata de esto?

 

El primer método que usas, comprobar que los planos tangentes son ortogonales por medio de sus vectores normales, es como se suelen resolver este tipo de cuestiones.

 

*Exemptus*

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pato115 TERRESTRIS VERITAS

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Espera, creo que ya intuyo la idea que estás planteando. Estás intentando reducir el problema a uno bidimensional. Tomas dos vectores en los planos tangentes pero contenidos en un mismo plano que corta a ambas superficies, con lo cual las intersecciones de las superficies con ese plano serían funciones bidimensionales, y entonces lo que planteas es que el problema debería reducirse al caso de probar que dos funciones de una variable son ortogonales en un punto, lo cual se hace probando que sus derivadas son inversas y de signo contrario. ¿Es esta la idea?

 

Si es así, la dificultad que veo es que estás suponiendo que las derivadas direccionales correspondientes una vez calculadas son exactamente iguales que las derivadas ordinarias de las funciones bidimensionales. Pero ¿es esto verdad? Es una pregunta interesante. Entiendo que tu cuestión se reduce a demostrar este hecho concreto. ¿Se trata de esto?

 

Exactamente, nadie lo podría haber explicado mejor :D .

Analizando la definición de derivada direccional no encuentro razón por la cual esto no se deba sostener (es totalmente "coherente" a como si plantaramos un sist. de referencia en el plano común que contiene las dos rectas y derivaramos como en dos variables), pero en el ejercicio en concreto que realize no se cumple.

Gracias por cierto.

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exemptus TERRESTRIS VERITAS

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Analizando la definición de derivada direccional no encuentro razón por la cual esto no se deba sostener (es totalmente "coherente" a como si plantaramos un sist. de referencia en el plano común que contiene las dos rectas y derivaramos como en dos variables), pero en el ejercicio en concreto que realize no se cumple.

 

Normal que no se cumpla; resulta que no es cierto. Lo que pasa es que tratar de demostrar esto con coordenadas genéricas se convierte en un fárrago horrible en seguida. Así que vamos a probar con un contraejemplo: dos funciones cuyas superficies ya sabemos que son ortogonales, como por ejemplo:

 

f(x,y) = x²+y²;

g(x,y) = (6-x²-y²);

 

(el cómo he construido estas dos funciones y cómo sé que sus superficies son ortogonales no importa para el caso; supongamos que nos vienen dadas)

 

Se puede comprobar que las superficies son ortogonales sin más que calcular sus gradientes: tenemos

 

grad f(x,y) = (2x,2y) --> grad f(1,1) = (2,2)

grad g(x,y) = (-x/(6-x²-y²), -y/(6-x²-y²)) --> grad g(1,1) = (-1/2,-1/2)

 

De modo que el producto escalar de ambos gradientes es nulo. Ergo, los gradientes son dos vectores ortogonales en (1,1,2).

 

El punto (1,1,2) es común a ambas superficies, así que vamos a hacer los cálculos ahí. Se puede comprobar que el plano x = y es mutuamente ortogonal a ambas superficies y contiene a ambos vectores gradiente, de modo que la intersección de éstas con dicho plano son las funciones bidimensionales que nos interesan. Éstas son:

 

F(x) = 2x²;

G(x) = (6-2x²);

 

Lo cual es lógico, porque la primera es un paraboloide de hoja simple (cuya sección es una parábola) y la segunda es una semiesfera (cuya sección es una circunferencia). Sus derivadas son

 

F'(x) = 4x;

G(x) = -2x / (6-2x²);

 

De modo que en el punto x = 1 tienen valores F'(1) = 4, G'(1) = -1. Es decir, que las curvas proyectadas no son ortogonales.

 

El problema aquí es que al proyectar sobre un plano, las curvas bidimensionales resultantes no tienen por qué seguir siendo ortogonales, porque hemos cambiado el sistema de referencia. Ahora ya no estás usando las coordenadas cartesianas que usabas para comprobar la ortogonalidad de las superficies, sino que estás utilizando coordenadas basadas en las líneas de curvatura de las superficies. Por lo tanto, las derivadas direccionales para estos vectores corresponden efectivamente con las derivadas de las funciones proyectadas... pero el problema es que las funciones proyectadas pueden perder la ortogonalidad, salvo que se escoja el plano de una manera específica. Esto se ve más fácilmente si te imaginas que el plano de corte se mueve y va cortando a ambas superficies en un ángulo variable.

 

*Exemptus*

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Aeo Ornstein y Smough

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Hola exe, ¿sabes si se ha intentado enfriar algún objeto por debajo del mínimo teórico de 0ºK
He estado leyendo que el telescopio Planck lo han puesto a -273,05Cº para su óptimo funcionamiento y me he quedado helado :D

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