Resolución de consultas (Física / Matemáticas) (hilo antiguo)

He leído que en Matemáticas se consideran a veces "dimensiones fraccionarias". Esto me deja de piedra. Ya es difícil pensar en dimensiones más allá de tres, ¡como para encima pensar en dimensiones con decimales! ¿Qué sentido tiene esto, aunque sea algo abstracto?

Ah, pues sí, tales cosas son perfectamente normales. Pero vamos por partes.

 

1. Dimensión.

 

El concepto intuitivo de "dimensión" es claro. Una recta en el plano tiene dimensión 1. El plano en sí tiene dimensión 2. Lo que usualmente se entiende por eso es el número de coordenadas que tenemos que dar para localizar inequivocamente un punto en el espacio. Esto es claro geométricamente, salvo por el hecho de que la visualización geométrica nos falla cuando la dimensión es mayor que 3. Pero esto no es un inconveniente para trabajar con el concepto.

 

El estado de un sistema finito es descriptible con N variables; por tanto, el espacio de todos los posibles estados del sistema tiene dimensión N multiplicado por el número de grados de libertad de cada variable. Un conjunto de tres partículas puntuales necesita de seis variables para ser descrito: las posiciones y velocidades de cada una de las tres partículas. La posición, a su vez, necesita de tres coordenadas en el espacio, y la velocidad también (ya que es un vector). Así que tenemos en total 18 coordenadas para especificar el estado del sistema. En general, el espacio de estados de un sistema de N partículas en el espacio tiene dimensión 6N.

 

Este concepto de "dimensión" es puramente intuitivo, y se distingue de otros conceptos llamándolo dimensión topológica. Así pues, un punto tiene dimensión cero, una curva es unidimensional, un plano es bidimensional, una esfera es tridimensional, un hipercubo es tetradimensional, y así sucesivamente.

 

Vamos a dibujar una curva sencilla en el plano. Tendrá una longitud que podemos medir usando una cuerda, pongamos L. Supongamos que nos dan un número r > 0 y por alguna razón queremos recubrir completamente la curva con círculos de radio r. Harán falta unos cuantos, eso depende de cómo sea r de pequeño; eso no importa. Está claro que habrá que dividir L por r y redondear al entero mayor para tener el número de círculos mínimo que permitan recubrir la curva completamente. Lo que sí importa ahora es el hecho de que si los círculos se hacen más pequeños harán falta más para cubrir la curva. Es lógico, ya que como L no cambia pero r sí, el cociente L/r se hace más grande. Pero ¿cómo cambia esta función con respecto a r? Pues es proporcional a 1/r, claro, siendo la longitud de la curva la constante de proporcionalidad.

 

Ahora consideremos no una curva, sino una mancha en el plano. Hacemos la misma pregunta: ¿cuántos círculos de radio r hacen falta para cubrirla completamente y cómo crece su número a medida que r se hace más pequeño? El salto conceptual no es difícil de dar, ya que aquí se ve que lo que cubrimos es un área, con lo cual el número crecerá como r al cuadrado.

 

Si consideramos un cuerpo sólido en el espacio y su recubrimiento con esferas, se ve que la proporcionalidad aquí va como 1/r^3. Pues bien, esto es otra posible definición de dimensión: en un espacio de dimensión n, si hacen falta N® bolas n-dimensionales para cubrir un subconjunto del espacio, donde N® = k/r^d, siendo k una constante que sólo depende del conjunto, entonces el exponente d se denomina dimensión de Hausdorff de dicho conjunto.

 

Aparentemente no se logra nada nuevo con esto, salvo enredar las cosas. Según esta definición, una curva tiene dimensión de Hausdorff d = 1, ya que el número de círculos (en este caso basta con que sean círculos unidimensionales", es decir, segmentos) es proporcional a 1/r^1. Es decir, que coincide con su dimensión topológica n = 1. Una mancha tiene dimensión de Hausdorff 2, que también es igual a su dimensión topológica; y así, sucesivamente. Con lo cual parece que los dos conceptos son equivalentes.

 

La sorpresa viene del hecho de que esto *no* es así.

 

2. Autosimilaridad.

 

Vamos a construir un conjunto en el plano. Esto se hará a base de "pasos". Un "paso" consiste en la siguiente operación:

 

"Para cada segmento de recta del conjunto, sustituir su tercio central por dos segmentos de longitud un tercio del original en un ángulo de 60º". Partimos de un segmento de recta entre las coordenadas (0,0) y (1,0) del plano:

 

 

En el primer paso, sustituimos el tercio central por dos segmentos de longitud 1/3 en ángulo:

 

 

Ahora tenemos un conjunto formado por cuatro segmentos. En el segundo paso, hacemos lo mismo para cada uno de estos segmentos, con lo cual obtenemos un conjunto que consta de 16 segmentos:

 

 

Repetimos la operación una y otra vez...

 

 

Fijémonos que cada uno de los conjuntos después de cada paso está formado por segmentos de recta, cada vez más pequeños, con lo cual es unidimensional. Vamos a llamar C al conjunto de puntos del plano que siguen perteneciendo a algún segmento después de un número finito de pasos de la construcción. ¿Qué pinta tiene C? Es claro que no es vacío, ya que, por ejemplo, el punto (0,0) nunca cae en un tercio central, así que no se elimina jamás, ni lo extremos de ningún segmento tampoco. Por tanto C es una especie de curva límite bien definida. Se denomina Curva de Koch.

 

Ahora veamos qué pasa si recubrimos C con círculos. Vemos una cosa: C está dividido en 4 partes iguales entre sí, que curiosamente son también iguales al total. O sea, que si tomamos una de esas cuartas partes y la escalamos agrandándola exactamente al triple (porque la longitud del segmento de base es un tercio del original), obtenemos una copia exacta de C. Cuando un conjunto tiene esta propiedad, se dice que es autosimilar: es exactamente igual a una parte de sí mismo, salvo que más grande.

 

Por lo tanto, si hacen falta N® círculos de radio r para cubrir el conjunto, harán falta exactamente los mismos de radio r/4 para cubrir la tercera parte del mismo. Con lo cual N(r/4) = N®/3. Y si, como hemos supuesto, N® = 1/r^d, entonces sustituyendo queda

 

3/(r/4)^d = 1/r^d;

 

de donde

 

3r^d = r^d/4^d;

 

que se puede escribir

 

3(4r)^d = r^d;

 

nos interesa despejar d, así que tomamos logaritmos:

 

log 3 + d(log 4 + log r) = d log r;

 

de modo que queda, despejando,

 

d = - (log 3/log 4) = log 4/log 3.

 

Cogiendo una calculadora, resulta que d ~= 1,26186. Sorpresa. La dimensión de Hausdorff nos sale fraccionaria.

 

Esto es una característica común a todos los objetos autosimilares. Si tenemos un conjunto que es igual a una M-ésima parte suya escalada en un factor N, entonces su dimensión de Hausdorff es exactamente log M/log N (siguiendo una demostración idéntica a la que hemos hecho para el conjunto de Koch, la cual realmente no depende de la dimensión topológica del espacio en el que estemos trabajando). De modo que los conjuntos autosimilares tienen todos dimensión de Hausdorff fraccionaria, a pesar de que su dimensión topológica sea entera. De alguna manera, la curva de Koch es como si tuviera una dimensión entre 1 y 2; es más "gruesa" que una curva, pero más "fina" que el plano.

 

Esto no nos debería pillar de sorpresa. Los conjuntos como la curva de Koch han de ser construidos tomando límites en una sucesión de procesos. Es una construcción perfectamente legítima, pero lleva a que hay unidades arbitrariamente pequeñas dentro de unidades más grandes. Es decir, que cualquier subconjunto de la curva, por pequeño que sea, no contiene ningún segmento de recta, ya que todos los tercios medios de tales segmentos han sido sustituidos por picos. El conjunto resultante consta únicamente de los extremos de dichos picos junto con los puntos intermedios que han quedado inalterados, los cuales no podemos visualizar por mucho que nos esforcemos. Pero esto basta para darse cuenta intuitivamente de que, de alguna manera, la densidad de puntos aquí debe ser mayor que la de un segmento.

 

3. Fractales.

 

Aquí va la definición: un conjunto se denomina fractal si su dimensión de Hausdorff es mayor que su dimensión topológica. Esto no suele coincidir con las definiciones habituales, que usualmente involucran el concepto de autosimilaridad. Podría parecer que basta con definir fractal como un objeto autosimilar, pero en realidad no es lo mismo. Hay objetos fractales que no exhiben autosimilaridad y viceversa. Sin embargo, los objetos autosimilares son fáciles de construir. Por lo tanto, las definiciones (incluidas las de algunas enciclopedias) que definen fractal exigiendo la autosimilaridad son incorrectas. Por ejemplo, el famoso Conjunto de Mandelbrot *no* es autosimilar, aunque pudiera parecer que sí (y cualquier segmento de recta es también autosimilar, y sin embargo no es fractal). Con lo cual no sería un fractal según las definiciones tradicionales. Existen conceptos más débiles que se ajustan a las propiedades generales, como la cuasi-autosimilaridad o la autosimilaridad estadística, pero es mucho más complicado definir el concepto de fractal a partir de ellos.

 

Es posible definir fractales, por tanto, mediante otros medios que la toma de límites en un proceso infinito. Uno de los más utilizados es la recursividad. El conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, está definido por medio de un proceso recursivo y una condición para todos los puntos del plano. En este caso, sin embargo, los puntos del plano se tratan como números complejos. La cosa es así: para cada punto c, se considera la ecuación

 

z(n+1) = z(n)^2 + c, para n = 0,1,2,3...

 

empezando por z(0) = 0. Es decir, que para cada punto c generamos una sucesión de complejos {z(0),z(1),z(2),z(3)...} de la siguiente manera: z(0) es siempre c, z(1) es c^2 + c, z(2) es (c^2 + c)^2 + c, y así sucesivamente. Dado que elevar al cuadrado un complejo lo que hace es darnos otro complejo en un punto diferente del plano, pero generalmente orientado de distinta manera respecto al origen, al sumarle el número original es muy difícil predecir si el resultado va a estar más cerca o más lejos del origen que antes. El criterio que se sigue para definir el conjunto es el siguiente: con cada sucesión generada pueden ocurrir dos cosas:

 

(1) o los puntos de la sucesión se van alejando del origen cada vez más y más, o bien

 

(2) nunca se alejan más de una determinada distancia máxima (que depende del punto c).

 

El conjunto de Mandelbrot M se define como la colección de los puntos c del plano tales que la sucesión generada a partir de ellos cae siempre en la categoría (2). Es decir, son los puntos para los cuales la sucesión de módulos generada por recursividad a partir de la ecuación anterior está acotada. Este conjunto es prácticamente imposible de describir en términos geométricos y tremendamente intrincado, pero está bien definido.

 

El caso es que los topólogos caracterizan este tipo de objetos porque son los que precisamente muestran dimensión fraccionaria, en el sentido en que decías al principio. Como ves, es una definición razonable, aunque sólo parcialmente intuitiva. Pero la geometría es lo que tiene: posee la capacidad de expandir nuestra intuición.

 

*Exemptus*

SUMA y RESTA:

 

Son los más fáciles de analizar. Se utiliza el método de acarreo, que es bastante intuitivo. En la representación en base 10, todo entero de r dígitos admite una expresión de la forma

 

N = Suma( a_k/10^k, k=0,...,r-1),

 

donde cada 0

 

M = Suma( b_j/10^j, j=0,...,s-1),

 

La suma de ambos será

 

N+M = Suma( (a_k+b_k)/10^k, k=0,...,p-1),

 

donde p = max{r,s}, conveniendo en esta notación que los índices a_r hasta a_(p-1) y b_s hasta b_(p-1) son nulos. Lo que se ve aquí es que cada dígito de la suma es el resultado de sumar los dos dígitos correspondientes de cada número. Pero hay un problema, y es que N+M puede que *no corresponda* a una representación válida en base 10 porque algunos de los a_k+b_k sean mayores que 9. ¿Cómo resolver esto?

 

Definimos la operación "suelo", que denoto [x] para cualquier número real, como el mayor entero menor o igual que x. Así pues, [5]=5, [5,5]=5, [2,9]=2, [-4,3]=-5, etcétera.

 

Si A es cualquier entero y B es distinto de cero, definimos la operación "mod" como A mod B = A - B*[A/B]. Entonces todo número se puede escribir como A = [A/B] + (A mod B), para cualquier entero B distinto de cero. B. En particular, para B=10, tenemos que podemos escribir A = [A/10] + (A mod 10). Obsérvese que 0

 

Pues solucionamos el tema de la representación aprovechando este hecho: la máxima suma que pueden tener dos dígitos del 0 al 9 es 9+9 = 18. Con lo cual, como mucho se ve afectada la potencia de 10 inmediatamente superior al índice k en cuestión. Si a_k+b_k > 9, entonces podemos sustituir A en el ejemplo anterior por a_k+b_k, y tenemos

 

a_k+b_k = [(a_k+b_k)/10^k] + ((a_k+b_k) mod 10)/10^k.

 

Pero esto es igual a [(a_k+b_k)]/10^(k+1) + ((a_k+b_k) mod 10)/10^k = ((a_k+b_k) mod 10)/10^k + 1/10^(k+1),

 

porque a_k+b_k está entre 10 y 18, así que [(a_k+b_k)/10] vale 1. El resultado de esto es que tenemos que sumar cada par de cifras módulo 10, y añadir 1 a la suma del índice inmediatamente superior siempre que la suma supere 9. Pero esto es exactamente lo que hacemos en el algoritmo de suma; así que funciona debido a esta razón.

 

Para el algoritmo de resta el razonamiento es idéntico, cambiando el acarreo por -1 (sale sin más que seguir los pasos), así que no lo detallo.

 

En realidad, los algoritmos que nos enseñaron en la escuela no son únicos ni mucho menos. Hay otras maneras de hacer operaciones aritméticas, algunas bastante más eficientes en muchas circunstancias. Por ejemplo, se puede hacer la cosa al reves, descomponer por potencias de diez de este modo:

 

186 + 49 = (100 + 80 + 6) + (40 + 9) = 100 + (80 + 40) + (6 + 9) = 100 + 120 + 15 = 235.

 

Con un poco de práctica, sumar de cabeza usando este método es mucho más sencillo y rápido que usar el tradicional. Los calculistas ultrarrápidos utilizan, por supuesto, algoritmos de este tipo, y otros mucho más sofisticados, junto con una memorización enorme de tablas y casos especiales.

 

Gracias por tu ayuda y tiempo.

Respecto a lo que está resaltado en negro, ¿no debería ser * en lugar de /? , es que sino quedan sumandos decimales y es imposible que se llegue así a un número entero (he probado con algunos ejemplos)?

 

Respecto a lo que está en rojo, quisiera saber por qué de "A mod B = A - B*[A/B]" se llega a

"A = [A/B] + (A mod B)" , es decir, ¿qué sucede con la B que está multiplicando a la operación suelo?

 

Gracias y en cuanto me respondas esto trataré de comprender las demás partes de tu valiosa explicación.

4) Estas ecuaciones se aplican a un sistema cartesiano local ,en donde el origen puede ser arbitrario, pero una vez determinado queda fijo y sirve para problemas en que la escala horizontal no es muy grande. Si queremos ampliar la escala ,entonces se debe usarla ecuación en coordenadas esféricas.

 

Y ahí me perdí. ¿Cuándo cambia el sistema?

Ah, ya veo. La derivación de las ecuaciones está bien, aunque la notación es confusa. Estás trabajando todo el tiempo en cartesianas, con lo cual obtienes tres ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para las correspondientes componentes del vector v. ¿Cuándo "cambia" el sistema? En realidad eso es arbitrario; lo que cabe preguntarse es cuál de los dos sistemas es válido en general. Evidentemente el esférico lo es, y no el cartesiano, ya que la Tierra no es plana a gran escala. Por lo tanto, físicamente se ha hecho una suposición incorrecta en algún momento. ¿Cuál es?

 

Evidentemente, que la coordenada z en cartesianas *es* la coordenada r en esféricas (matemáticamente, la reslación entre ambas es z = r cos ; pero date cuenta que en la aproximación local de "tierra plana", el ángulo polar es siempre cercano a cero, con lo cual r es aproximadamente lo mismo que z. Para usar estas ecuaciones en esféricas habría que plantear que tanto g como el rozamiento varían con r, introduciendo la dependencia angular correspondiente. A medida que aumentas la escala, cualquier cálculo con las ecuaciones cartesianas va a empezar a dar resultados incorrectos por culpa de esto. Habría que haber planteado la ecuación diferencial de la que se parte en coordenadas esféricas para obtener el resultado correcto.

 

*Exemptus*

 

Uhm... uhm... entonces eso quiere decir que la fuerza de atracción de un protón con un neutrón tiene como potencial: (lo que he escrito en azul) si lo tomo como coordenada esférica?. Dado que si puedo encontrar F= -U en R^3/ |0| puedo calcular directamente el flujo de F a través del casquete esférico r = a (a > 0)

 

Por tanto podría demostrar algo como lo que está en rojo (que es el enunciado, lo de azul he hecho lo más cercano a lo posible, no sé si estará bien).

 

 

Bueno, si es que se puede me va a tomar semanas

Respecto a lo que está resaltado en negro, ¿no debería ser * en lugar de /? , es que sino quedan sumandos decimales y es imposible que se llegue así a un número entero (he probado con algunos ejemplos)?

Tienes toda la razón; debería ser producto. El error se arrastra durante toda la explicación, pero afortunadamente el argumento queda intacto. Con división es la expresión general de un racional con un número finito de decimales, no de un entero.

 

Respecto a lo que está en rojo, quisiera saber por qué de "A mod B = A - B*[A/B]" se llega a

"A = [A/B] + (A mod B)" , es decir, ¿qué sucede con la B que está multiplicando a la operación suelo?

Es otro descuido mío. B debe estar ahi multiplicando, con lo que queda A = B*[A/B] + (A mod B). Curiosamente este error anula en cierto modo el otro de poner la división, porque ahora resulta que el no multiplicar por 10 corrige en otro error (si hubiera cometido uno solo de los dos, probablemente me habría dado cuenta de que algo estaba mal). Recapitulo entonces:

 

Tenemos A = 10*[A/10] + (A mod 10), con lo que

 

a_k+b_k = 10*[(a_k+b_k)/10] + (a_k+b_k) mod 10;

 

Pero observa que a_k+b_k está siempre entre 0 y 18; por lo tanto, (a_k+b_k)/10 está siempre entre 0 y 1,8; [(a_k+b_k)/10] toma por tanto los valores 0 ó 1, y el primer término, por consiguiente, toma los valores 0 ó 10. El segundo término es simplemente la suma de las dos cifras módulo 10. Ahora encajan las cosas, porque el primer término es el acarreo que va a afectar al siguiente par de cifras (que se multiplican por una potencia más de 10, así que el acarreo les afecta con valor 0 ó 1).

 

Si hace falta, reescribo todo el argumento con la notación corregida, pero creo que se puede captar la idea general.

 

*Exemptus*

Uhm... uhm... entonces eso quiere decir que la fuerza de atracción de un protón con un neutrón tiene como potencial: (lo que he escrito en azul) si lo tomo como coordenada esférica?. Dado que si puedo encontrar F= -U en R^3/ |0| puedo calcular directamente el flujo de F a través del casquete esférico r = a (a > 0)

Es una suposición razonable, si basas la postulación del potencial en preceptos físicos: es decir, que modela la fuerza entre protón y neutrón. Este es uno de los modelos sencillos de potencial de interacción fuerte que primero se manejaron tratando la interacción de forma "clásica".

 

Y sí, se puede. Lo cual no quiere decir que sea sencillo; depende desde dónde partas. El enunciado en rojo es una consecuencia del teorema de Gauss-Ostrogradsky: el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada regular a trozos es la integral de la divergencia del campo sobre el volumen delimitado por dicha superficie. Lo que pasa es que demostrar eso requiere al menos partir de algún sitio cercano. El Teorema de Stokes, por ejemplo. Si tienes que hacerlo a pelo, puede ser muy engorroso.

 

*Exemptus*

Hola exemptus!

Yo tengo una duda que no me deja dormir XD...quiero que me expliques de manera teorica y grafica que es una derivada, es decir, cuando yo sumo 1 + 1 veo el concepto y lo veo graficamente pero cuando hago una derivada no entiendo que estoy haciendo ni para que sirve, ni en que problemas reales puedo usarlos y porque es adecuada esta herramienta para esos problemas.

Yo tengo una duda que no me deja dormir XD...quiero que me expliques de manera teorica y grafica que es una derivada, es decir, cuando yo sumo 1 + 1 veo el concepto y lo veo graficamente pero cuando hago una derivada no entiendo que estoy haciendo ni para que sirve, ni en que problemas reales puedo usarlos y porque es adecuada esta herramienta para esos problemas.

Hay dos problemas geométricos interesantes en matemáticas elementales:

 

(1) Dada una curva, hallar la recta tangente a la misma en un punto dado. Es decir, que si tenemos una función continua conocida, ¿Cómo hallamos la recta que le pasa rozando en un punto dado?

 

(2) Dada una curva en el plano, hallar el área encerrada por la curva y cualquier recta. O lo que es lo mismo, ¿Cuál es el área delimitada por una función continua y el eje X entre cualesquiera dos puntos?

 

El por qué estos dos problemas *son* interesantes es cosa de la Física, no de las matemáticas; ésta fue la que sirvió de motivación para el desarrollo del cálculo diferencial en su momento. Sucede que el problema (1) y el (2) tienen como solución operaciones, en cierto modo, opuestas entre sí: el primero requiere diferenciar y el segundo requiere integrar. El hecho de que estos dos problemas tan diferentes den lugar a dos operaciones relacionadas entre sí no es trivial en absoluto.

 

Aquí nos interesa el primero: cómo se halla la recta tangente a una curva en un punto dado. Si tenemos una función continua f de una variable real, que conocemos, ¿dómo hallamos la recta que es tangente en el punto, digamos, x=7?

 

 

En realidad la cosa pasa por darse cuenta de que cualquier función continua "se parece" a una recta tangente a la misma siempre que no los alejemos demasiado del punto donde toca. Ampliando la imagen anterior, vemos que la diferencia entre ambas es relativamente pequeña, aunque crece a medida que nos alejamos del punto x=7:

 

 

¿Cuánto vale esta diferencia? El único punto donde conocemos el valor de la recta es x=7, porque ahí vale f(7), lo mismo que la curva. Pero, a medida que nos apartamos del punto, el valor cambia. Si nos desviamos una cantidad h (que puede ser positiva o negativa: podemos desviarnos a la derecha o a la izquierda), el valor de la función es f(7+h). Pues bien, si la función es aproximadamente una recta, tiene que haber una función D que cumpla

 

 

¿Por qué? porque lo que expresa esto es que la diferencia de valores de f con la recta tangente en los alrededores del punto x=7 es aproximadamente proporcional a h, que es lo que nos alejamos del punto. Esa diferencia no será en realidad proporcional: lo sería si la función D fuera constante. Pero podemos esperar que D sea "casi constante" en los alrededores del punto de tangencia. Esto implica que si h tiende a cero, la diferencia también lo haga (lado izquierdo de la ecuación), de modo que el lado derecho tiene que tender a cero necesariamente. Pero la cantidad h*D(h) tiende a cero solamente cuando D(h) tiende a ser constante (esto es lógico: si creciera indefinidamente, podría compensar el que h sea cada vez más pequeña).

 

De hecho, es fácil ver qué representa el límite de D(h) cuando h tiende a cero: es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente con el eje X. De hecho, esto es el motivo de que la razón trigonométrica se denomine precisamente "tangente".

 

Así pues, si definimos

 

 

Entonces d es ni más ni menos que la pendiente de la recta tangente (la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje horizontal). Dado que la ecuación de una recta es de la forma a*x+b, donde a es la pendiente y b es evidentemente el valor de la recta cuando x=0, resulta que tenemos descrita la recta sin más que calcular el límite anterior. Esto resuelve el problema (1).

 

Pero está claro que entonces podemos definir cuándo el problema es resoluble. Y se hace así: dada una función continua f y un punto c de su dominio de definición, se dice que f es diferenciable en el punto c cuando existe el límite siguiente:

 

 

(esto es lo mismo de antes, sólo que generalizando el punto x=7 a un punto x=c cualquiera). El número real f'© se denomina derivada de la función f en el punto c.

 

Naturalmente, no siempre este límite existe. Hay funciones continuas que no tienen por qué ser diferenciables. Esto pasa, por ejemplo, cuando la función tiene un "pico". Esto es así porque entonces no hay recta tangente: por un lado la recta irá para arriba y por el otro irá para abajo, saltando bruscamente de una a otra. En la función de abajo no hay tangente en el punto x=3, así que ahí la función no es diferenciable:

 

 

Pero podemos esperar que, en general, si la función es "suave", sea diferenciable en todos sus puntos.

 

La diferenciabilidad es un operación local: se define siempre asociada a un punto concreto. Pero puede suceder que existe derivada en todos los puntos; la operación de diferenciar entonces asigna a cada punto un valor, que es el de la derivada de la función en ese punto. Esto, por supuesto, define otra función, que es la que asocia dichos valores. Esta es la función derivada de f:

 

 

y podemos tratar a f' como una función más. En particular, puede que ésta a su vez sea diferenciable y tenga su propia derivada, que sería al derivada segunda de f, f''; se puede definir recursivamente la derivada tercera, cuarta, y así para cualquier orden, siempre que exista, como la derivada de la función de orden inmediatamente anterior.

 

La función derivada f' expresa la pendiente de la recta tangente a cada punto de la función f. Esto es, en cada punto nos dice cómo crece o decrece la función. Si la derivada en un punto es cero, es que la función es "horizontal" en ese punto. Si la derivada es positiva, la función crece. Si es negativa, decrece. Esto se ve directamente de la imagen geométrica de la recta tangente. Es más: cuanto mayor sea el valor de la derivada en un punto, quiere decir que más acusada es la pendiente de la función en ese punto, o sea, que más rápido crece (o decrece).

 

Esto liga el tema con la física, porque la rapidez de crecimiento o decrecimiento no es ni más ni menos que la tasa de cambio de una cantidad respecto a otra. Prácticamente toda la Física se basa en establecer la dependencia de la tasa de cambio de las cosas. Por ejemplo, la velocidad es la tasa de cambio de la posición de algo con el tiempo. La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. La intensidad de corriente eléctrica es la tasa de cambio del voltaje con la resistencia. Casi todas las variables significativas en Termodinámica son expresables como la tasa de cambio de otras variables respecto a algo. Sin la capacidad de estudiar formalmente estas dependencias, no habría ni física ni ingeniería modernas: nada de electrónica, ni comunicaciones, ni aeronáutica, ni calderas, ni máquinas de vapor, ni motores, ni química industrial... ni nada que dependa de estas cosas.

 

*Exemptus*

NOTA: A sugerencia de Quinti, he separado la antigua Cuestión 16 (sobre audio analógigo y digital) en un hilo separado, para que pueda desarrollarse por su cuenta. Se puede encontrar aquí.

*Exemptus*

Tenemos A = 10*[A/10] + (A mod 10), con lo que

 

a_k+b_k = 10*[(a_k+b_k)/10] + (a_k+b_k) mod 10;

 

Pero observa que a_k+b_k está siempre entre 0 y 18; por lo tanto, (a_k+b_k)/10 está siempre entre 0 y 1,8; [(a_k+b_k)/10] toma por tanto los valores 0 ó 1, y el primer término, por consiguiente, toma los valores 0 ó 10. El segundo término es simplemente la suma de las dos cifras módulo 10. Ahora encajan las cosas, porque el primer término es el acarreo que va a afectar al siguiente par de cifras (que se multiplican por una potencia más de 10, así que el acarreo les afecta con valor 0 ó 1).

 

Gracias nuevamente. A partir de lo que está en rojo me pierdo un poco, ya que no entiendo eso de que el segundo término ( supongo que te refieres a (a_k+b_k) mod 10 ) es la suma de las dos cifras módulo 10, es decir, no entiendo a que te refieres con cifras módulo diez.

Respecto a la multiplicación quisiera saber por qué, en cualquiera de las multiplicaciones parciales, cuando la multiplicación de 2 dígitos es mayor a 9 (ej: 25), luego la cifra de las decenas (2 en el ejemplo) se suma cuando se efectúa la multiplicación con el otro dígito (en el ejemplo sería +2).

La división la veré después .

 

Gracias.

...currada...

Oye muchas gracias, me lo has explicado como todo un maestro y me ha quedado mas o menos claro.

 

Pero, me da vergüenza hasta pedirtelo despues de la currada, me gustaria saber si podias profundizar un poco sobre esto:

 

El por qué estos dos problemas *son* interesantes es cosa de la Física, no de las matemáticas

Solo unas pinceladas si quieres y ya busco yo informacion sobre ello, es que es precisamente ese tema el que mas me interesa.

Hola a todos


Necesito una pequeña ayuda con un tipo de logaritmos exponenciales que no me salen. Son los de base radical.
De ese tipo tengo que hacer 3 :



No tengo ni idea de como cogerlos :-?



Gracias de ante mano

Gracias nuevamente. A partir de lo que está en rojo me pierdo un poco, ya que no entiendo eso de que el segundo término ( supongo que te refieres a (a_k+b_k) mod 10 ) es la suma de las dos cifras módulo 10, es decir, no entiendo a que te refieres con cifras módulo diez.

Perdona, es terminología estándar que usamos los matemáticos. Cuando digo "suma módulo diez" quiero decir "sumar, y si el resultado es mayor que 10, entonces restar 10". O lo que es lo mismo, "sumar, pero quedarse únicamente con la cifra de las unidades".

 

Respecto a la multiplicación quisiera saber por qué, en cualquiera de las multiplicaciones parciales, cuando la multiplicación de 2 dígitos es mayor a 9 (ej: 25), luego la cifra de las decenas (2 en el ejemplo) se suma cuando se efectúa la multiplicación con el otro dígito (en el ejemplo sería +2).

Es el mismo efecto que con la suma:

 

* Cuando sumas dos dígitos de una cifra, el resultado puede ir desde 0 hasta 18, así que se toma la suma módulo 10 y el "acarreo" a la siguiente cifra es como mucho 1.

 

* Cuando multiplicas dos dígitos de una cifra, el resultado puede ir desde 0 hasta 81, así que si tomas el producto módulo 100, el "acarreo" a la siguiente cifra (al sumar los productos parciales) puede ser desde cero hasta 8.

 

*Exemptus*

El por qué estos dos problemas *son* interesantes es cosa de la Física, no de las matemáticas

Solo unas pinceladas si quieres y ya busco yo informacion sobre ello, es que es precisamente ese tema el que mas me interesa.

Si lees el último párrafo de la explicación, verás la justificación central del tema: la mayoría de problemas en Física clásica tratan con averiguar cómo depende la tasa de cambio de algo con respecto a las variables que caracterizan un sistema. Resulta que la tasa de cambio de una función equivale geométricamente al problema de hallar la tangente a una curva.

 

*Exemptus*

Necesito una pequeña ayuda con un tipo de logaritmos exponenciales que no me salen. Son los de base radical.

De ese tipo tengo que hacer 3 :

 

 

No tengo ni idea de como cogerlos :-?

La notación es un tanto confusa, pero dices que esas raíces son la base de los logaritmos, ¿no? Entonces no hay problema, pero voy a inventarme una notación más apropiada para hacer esto en ASCII. Escribiré log[b](x) para denotar el logaritmo de x en base b.

 

En general, todos los logaritmos son el mismo logaritmo, porque se diferencian sólo en un factor de escala: por eso los matemáticos tratamos sólo con logaritmos naturales. Convertir a otra base es trivial, según la definición siguiente:

 

log[a](x) = log[b](x) / log[b](a).

 

Vamos a hacer el segundo de tus ejemplos, que es el logatirmo en base raíz cuarta de 5. Esto es lo mismo que 5^(1/4), por definición de raíz n-ésima. Lo fácil entonces es convertirlo a base 5:

 

log[5^(1/4)](1/125) = log[5](1/125) / log[5](5^(1/4)).

 

Ahora bien, tanto el numerador como el denominador son inmediatos: dado que 125 = 5^3, tenemos que 1/125 = 5^(-3), de modo que log[5](1/125) = -3. Y el denominador, como es lógico, es 1/4. Por lo tanto:

 

log[5^(1/4)](1/125) = (-3) / (1/4) = -12.

 

Comprobemos esto. Si el resultado nos sale -12, eso quiere decir que si elevamos la raíz cuarta de 5 a la potencia -12, nos debería salir 1/125. Veamos:

 

(5^(1/4))^(-12) = 5^(1/4 * (-12)) = 5^(-12/4) = 5^(-3) = 1/(5^3) = 1/125. Voilà.

 

Con esto, no tendrás dificultad en hacer los otros dos ejemplos.

 

*Exemptus*

El por qué estos dos problemas *son* interesantes es cosa de la Física, no de las matemáticas

Solo unas pinceladas si quieres y ya busco yo informacion sobre ello, es que es precisamente ese tema el que mas me interesa.

Si lees el último párrafo de la explicación, verás la justificación central del tema: la mayoría de problemas en Física clásica tratan con averiguar cómo depende la tasa de cambio de algo con respecto a las variables que caracterizan un sistema. Resulta que la tasa de cambio de una función equivale geométricamente al problema de hallar la tangente a una curva.

 

*Exemptus*

 

Si, si gracias, me lo habia leido era por si podias aportarme algo mas, pero ya con eso es suficiente para buscarme la vida. Gracias de nuevo.