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exemptus

Resolución de consultas (Física / Matemáticas) (hilo antiguo)

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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vida restante: 75%

Hola, quisiera saber porque la división, multiplicación, suma y resta se hacen como se hacen, es decir, ¿por qué el método que nos enseñan cuando somos chicos es así?, ¿por qué de ese modo funciona?.

 

Gracias.

 

¿Y cómo quieres que se hagan si no? XD

 

No subestimes esa pregunta.

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pato115 PARIETINAE UMBRA

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vida restante: 100%

Hola, quisiera saber porque la división, multiplicación, suma y resta se hacen como se hacen, es decir, ¿por qué el método que nos enseñan cuando somos chicos es así?, ¿por qué de ese modo funciona?.

 

Gracias.

 

¿Y cómo quieres que se hagan si no? XD

 

Creo que como estás tan acostumbrado a hacerlas crees que es algo innato, pero si nunca hubieses ido a la escuela mi pregunta te resultaría normal, hasta interesante. Es por eso que para comprender lo hermoso de las matemáticas hay que ser ante todo curioso.

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freewild HARENA TIGRIS

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Hola, quisiera saber porque la división, multiplicación, suma y resta se hacen como se hacen, es decir, ¿por qué el método que nos enseñan cuando somos chicos es así?, ¿por qué de ese modo funciona?.

 

Gracias.

 

¿Y cómo quieres que se hagan si no? XD

 

Creo que como estás tan acostumbrado a hacerlas crees que es algo innato, pero si nunca hubieses ido a la escuela mi pregunta te resultaría normal, hasta interesante. Es por eso que para comprender lo hermoso de las matemáticas hay que ser ante todo curioso.

 

A ver, como lo veo yo:

 

Las cifras y las letras alegbraicas son tan sólo significantes de un concepto intrínseco a la mente (hace poco leía a un neurologo decir que está codificado genéticamente, es decir, que los tenemos todos en tanto seres humanos) de Número. Es un concepto axiomático, proveniente de la Lógica y que no se puede explicar. Simplemente lo tienes. Ahora, asignando un lenguaje a esa realidad inmaterial y siguiendo las leyes de la lógica es como se efectúan las operaciones.

 

¿Acaso es posible pensar en otra operación que no sea hacer crecer/decrecer una cantidad siguiendo ciertas proporciones o patrones, etc.? Yo desde luego que no, igual que no puedo imaginarme un objeto en cuatro dimensiones. A partir de ahí y a través de la simbología matemática, se deduce lo demás.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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Voy denuevo

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1) Observemos que la fuerza de gravitación absoluta (ga) está dirigida al centro de la tierra y la fuerza centrifuga que depende de su posición está dirigida hacia fuera del radio de giro.
Al medir la gravedad sobre la superficie lo que medimos realmente es g y no ga, es decir en la medición está incorporado el efecto de la fuerza centrífuga.

2) en donde las fuerzas por unidad de masa que generan aceleración son:
-(1/ )p : Fuerza de Presión
-2 x V : Fuerza de Coriolis
-+ g : Fuerza de Gravedad
+ (1/ )d /dz : Fuerza de Roce o Fricción

Imagen Enviada

3) eje x esta dirigido hacia el Este ,el eje y hacia elNorte y el eje z hacia el cenit.
Las componentes serán por lo tanto:

Imagen Enviada

4) Estas ecuaciones se aplican a un sistema cartesiano local ,en donde el origen puede ser arbitrario, pero una vez determinado queda fijo y sirve para problemas en que la escala horizontal no es muy grande. Si queremos ampliar la escala ,entonces se debe usarla ecuación en coordenadas esféricas.

Y ahí me perdí. ¿Cuándo cambia el sistema?.

No me había percatado en ese instante lo mal que había planteado la pregunta. No me salió nada por el estilo, era lo único que me había quedado en el aire. De todas formas obtuve un 8 en ese examen. Casi todo fueron problemas de convergencia y divergencia de masas de aire.

Eso. No me maten si no entienden :D

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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Hola, quisiera saber porque la división, multiplicación, suma y resta se hacen como se hacen, es decir, ¿por qué el método que nos enseñan cuando somos chicos es así?, ¿por qué de ese modo funciona?.

 

Gracias.

 

¿Y cómo quieres que se hagan si no? XD

 

Creo que como estás tan acostumbrado a hacerlas crees que es algo innato, pero si nunca hubieses ido a la escuela mi pregunta te resultaría normal, hasta interesante. Es por eso que para comprender lo hermoso de las matemáticas hay que ser ante todo curioso.

 

A ver, como lo veo yo:

 

Las cifras y las letras alegbraicas son tan sólo significantes de un concepto intrínseco a la mente (hace poco leía a un neurologo decir que está codificado genéticamente, es decir, que los tenemos todos en tanto seres humanos) de Número. Es un concepto axiomático, proveniente de la Lógica y que no se puede explicar. Simplemente lo tienes. Ahora, asignando un lenguaje a esa realidad inmaterial y siguiendo las leyes de la lógica es como se efectúan las operaciones.

 

¿Acaso es posible pensar en otra operación que no sea hacer crecer/decrecer una cantidad siguiendo ciertas proporciones o patrones, etc.? Yo desde luego que no, igual que no puedo imaginarme un objeto en cuatro dimensiones. A partir de ahí y a través de la simbología matemática, se deduce lo demás.

 

Bueno, yo no sé dónde se podrá leer la capacidad para ver los conceptos algebraicos. Pero al menos para los números está la obra de Bertrand Russell, en especial "El concepto del número". Obra que hay que leer tranquilo y calmadamente y sin alcohol en el cuerpo.

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pato115 PARIETINAE UMBRA

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?¿Por qué en la división sólo se acepta el numero que multiplicado por el divisor se aproxime más a las cifras del dividendo?¿por qué en la multiplicación de 2 cifras, cuando se comienza con la segunda, los resultados de las multiplicaciones van desplazados un lugar a la izquierda con respecto a la primera?.
Es obvio que esto tiene una respuesta.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?

 

Es obvio que esto tiene una respuesta.

 

Esa yo sé dónde sale. En el libro que te mencioné (que no es libro como tal, es un ensayo más o menos breve) sale esa explicación. Es algo bastante complicado de entender sin una preparación previa, así que hay que digerirlo de a poco si lo vas a leer solo. A mi me lo pasaron en un curso y la verdad, es que entendí algo mejor. De todas maneras no tengo la forma como explicarlo sin usar dibujos y la verdad, es que dibujo horrible como han visto en el post anterior. Quizás Exe lo podría explicar bien en palabras.

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?

Porque así no emborronas la hoja cuando llega el acarreo (el "me llevo una"). Si empezaras por la izquierda, al llegar a un acarreo deberías modificar la cifra que ya habías sumado/restado.

 

¿Por qué en la división sólo se acepta el numero que multiplicado por el divisor se aproxime más a las cifras del dividendo?

En Japón las división se hacen manualmente de otra manera. Aunque viene a ser la misma.

 

Imagen Enviada

 

Toma el ejemplo de la imagen del método japonés. Es impepinable que hay que coger siempre el número que más se aproxime, si no la división la haces mal.

 

Digamos que en realidad se hace por aproximación, primero divides el 256 entre 8 y compruebas por decenas cual es la que más se acerca, cuando empiezas diciendo si 2 o 3 se aproxima más, en realidad estás eligiendo entre 20 o 30. El cero no lo pones para no emborronar el papel, como 8x30=240, los japoneses ponen el 24 con una cifra desplazada a la izquierda, porque el cero de las unidades no aporta nada a la resta posterior (6-0=6). El resto, que es 16, lo afinas en el resultado con las unidades.

 

Si te das cuenta, el método japonés es igual que el español, solo que ellos ponen la resta y nosotros la hacemos implícita. Espero que con la imagen se me entienda mejor porque me explico muy mal.

 

 

¿por qué en la multiplicación de 2 cifras, cuando se comienza con la segunda, los resultados de las multiplicaciones van desplazados un lugar a la izquierda con respecto a la primera?.

 

Porque en realidad estás multiplicando por decenas. Pongamos un ejemplo: imagina que multiplicas 32x11. Coges el 1 de las unidades y sale 32. Luego pasas al otro 1, pero resulta que ese uno es el de las decenas, y en realidad estás múltiplicando por 10, por lo que 32x10=320. Nuevamente, el cero no aportará nada a la suma posterior, por lo que no se pone y simplemente se pone el 32 una cifra desplazada, porque el cero no aportará nada a la suma.

 

Cuando haces esa multiplicación, en realidad estás aplicando que 32x11=32x10+32x1, y aprovechandote de que multiplicar por 10 es simplemente añadir un cero.

 

Espero que te halla quedado más o menos claro, que me explico muy mal.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?

Porque así no emborronas la hoja cuando llega el acarreo (el "me llevo una"). Si empezaras por la izquierda, al llegar a un acarreo deberías modificar la cifra que ya habías sumado/restado.

 

 

No, no es por eso.

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?

Porque así no emborronas la hoja cuando llega el acarreo (el "me llevo una"). Si empezaras por la izquierda, al llegar a un acarreo deberías modificar la cifra que ya habías sumado/restado.

 

 

No, no es por eso.

 

No me extrañaría estar equivocado, pero intenta explicarlo por lo menos.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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A lo que voy: ¿Por qué por ejemplo la suma y la resta se comienza de la derecha y no de la izquierda?

Porque así no emborronas la hoja cuando llega el acarreo (el "me llevo una"). Si empezaras por la izquierda, al llegar a un acarreo deberías modificar la cifra que ya habías sumado/restado.

 

 

No, no es por eso.

 

No me extrañaría estar equivocado, pero intenta explicarlo por lo menos.

 

Es que la verdad no sabría como decirlo. Sale en "El concepto del número" (la versión completa, no la comercial que te encuentras en cualquier parte) de Bertrand Russell.

Entre otras cosas sale por qué para todas las culturas ciertas simbologías representan las mismas cantidades, porque los números van creciendo a la izquierda y no a la derecha y qué sucede con las clases semejantes, entre otras cosas.

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

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Es que la verdad no sabría como decirlo. Sale en "El concepto del número" (la versión completa, no la comercial que te encuentras en cualquier parte) de Bertrand Russell.

Entre otras cosas sale por qué para todas las culturas ciertas simbologías representan las mismas cantidades, porque los números van creciendo a la izquierda y no a la derecha y qué sucede con las clases semejantes, entre otras cosas.

 

Me lo apunto para echarle un vistazo. Mi respuesta se basaba en lo que aprendí cuando estudié el algebra de Boole en electrónica. Para hacer un bloque sumador digital de un número binario, se calcula el resultado y si se genera acarreo, pero la función de acarreo (el llevarse una) es especial porque se propaga de los números menos significativos a los más significativos, de tal manera que hasta que no se ha generado el acarreo para todos los números no termina la suma. Por eso deduje que ese es el orden natural, si empiezas por la derecha hacia la izquierda generas mentalmente el acarreo, pero si lo haces al revés, en cada nueva cifra se genera algo que afecta a todas las anteriores y debes modificar el resultado.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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Es que la verdad no sabría como decirlo. Sale en "El concepto del número" (la versión completa, no la comercial que te encuentras en cualquier parte) de Bertrand Russell.

Entre otras cosas sale por qué para todas las culturas ciertas simbologías representan las mismas cantidades, porque los números van creciendo a la izquierda y no a la derecha y qué sucede con las clases semejantes, entre otras cosas.

 

Me lo apunto para echarle un vistazo. Mi respuesta se basaba en lo que aprendí cuando estudié el algebra de Boole en electrónica. Para hacer un bloque sumador digital de un número binario, se calcula el resultado y si se genera acarreo, pero la función de acarreo (el llevarse una) es especial porque se propaga de los números menos significativos a los más significativos, de tal manera que hasta que no se ha generado el acarreo para todos los números no termina la suma. Por eso deduje que ese es el orden natural, si empiezas por la derecha hacia la izquierda generas mentalmente el acarreo, pero si lo haces al revés, en cada nueva cifra se genera algo que afecta a todas las anteriores y debes modificar el resultado.

 

Aaaah, a eso le llamas acarreo X-D X-D. Vale vale, quizás haya algo de eso. Hace falta la respuesta de Exe en todo caso. Él tiene la luz.

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Hola, quisiera saber porque la división, multiplicación, suma y resta se hacen como se hacen, es decir, ¿por qué el método que nos enseñan cuando somos chicos es así?, ¿por qué de ese modo funciona?.

La pregunta no es trivial. Lo que vienes a decir es por qué los *algoritmos* manuales que nos enseñaron para hacer cuentas funcionan. Esto no es obvio en absoluto en algunos casos. Veamos:

 

SUMA y RESTA:

 

Son los más fáciles de analizar. Se utiliza el método de acarreo, que es bastante intuitivo. En la representación en base 10, todo entero de r dígitos admite una expresión de la forma

 

N = Suma( a_k/10^k, k=0,...,r-1),

 

donde cada 0

 

M = Suma( b_j/10^j, j=0,...,s-1),

 

La suma de ambos será

 

N+M = Suma( (a_k+b_k)/10^k, k=0,...,p-1),

 

donde p = max{r,s}, conveniendo en esta notación que los índices a_r hasta a_(p-1) y b_s hasta b_(p-1) son nulos. Lo que se ve aquí es que cada dígito de la suma es el resultado de sumar los dos dígitos correspondientes de cada número. Pero hay un problema, y es que N+M puede que *no corresponda* a una representación válida en base 10 porque algunos de los a_k+b_k sean mayores que 9. ¿Cómo resolver esto?

 

Definimos la operación "suelo", que denoto [x] para cualquier número real, como el mayor entero menor o igual que x. Así pues, [5]=5, [5,5]=5, [2,9]=2, [-4,3]=-5, etcétera.

 

Si A es cualquier entero y B es distinto de cero, definimos la operación "mod" como A mod B = A - B*[A/B]. Entonces todo número se puede escribir como A = [A/B] + (A mod B), para cualquier entero B distinto de cero. B. En particular, para B=10, tenemos que podemos escribir A = [A/10] + (A mod 10). Obsérvese que 0

 

Pues solucionamos el tema de la representación aprovechando este hecho: la máxima suma que pueden tener dos dígitos del 0 al 9 es 9+9 = 18. Con lo cual, como mucho se ve afectada la potencia de 10 inmediatamente superior al índice k en cuestión. Si a_k+b_k > 9, entonces podemos sustituir A en el ejemplo anterior por a_k+b_k, y tenemos

 

a_k+b_k = [(a_k+b_k)/10^k] + ((a_k+b_k) mod 10)/10^k.

 

Pero esto es igual a [(a_k+b_k)]/10^(k+1) + ((a_k+b_k) mod 10)/10^k = ((a_k+b_k) mod 10)/10^k + 1/10^(k+1),

 

porque a_k+b_k está entre 10 y 18, así que [(a_k+b_k)/10] vale 1. El resultado de esto es que tenemos que sumar cada par de cifras módulo 10, y añadir 1 a la suma del índice inmediatamente superior siempre que la suma supere 9. Pero esto es exactamente lo que hacemos en el algoritmo de suma; así que funciona debido a esta razón.

 

Para el algoritmo de resta el razonamiento es idéntico, cambiando el acarreo por -1 (sale sin más que seguir los pasos), así que no lo detallo.

 

En realidad, los algoritmos que nos enseñaron en la escuela no son únicos ni mucho menos. Hay otras maneras de hacer operaciones aritméticas, algunas bastante más eficientes en muchas circunstancias. Por ejemplo, se puede hacer la cosa al reves, descomponer por potencias de diez de este modo:

 

186 + 49 = (100 + 80 + 6) + (40 + 9) = 100 + (80 + 40) + (6 + 9) = 100 + 120 + 15 = 235.

 

Con un poco de práctica, sumar de cabeza usando este método es mucho más sencillo y rápido que usar el tradicional. Los calculistas ultrarrápidos utilizan, por supuesto, algoritmos de este tipo, y otros mucho más sofisticados, junto con una memorización enorme de tablas y casos especiales.

 

MULTIPLICACIÓN:

 

Esto es mucho más engorroso para la notación general, porque aquí estamos multiplicando dos representaciones como las de N y M, que son sumas. En realidad, el algoritmo aplica la propiedad distributiva sobre los números para reducir una multiplicación de dos números de r y s dígitos a la suma de s multiplicaciones de un número de r dígitos por una cifra. Por ejemplo:

 

186 * 49 = 186 * (40+9) = 186*40 + 186*9 = (186*4)*10 + 186*9.

 

Así que lo que hacemos en el algoritmo es obtener dos resultados parciales y sumarlos. Los resultados parciales son 186*9 y 186*4, que se efectúan por el mismo método que el de la suma, sólo que el acarreo aquí puede estar entre 0 y 9 (en realidad, el algoritmo funciona igual, porque lo único que hacemos es sumar el mismo número tantas veces como indique el multiplicador). Luego se suman los resultados parciales, pero antes hay que mutiplicar cada uno de ellos por la potencia de 10 correspondiente. Pero como multiplicar por 10 es lo mismo que desplazar una cifra a la izquierda cada dígito, en papel esto es lo que se hace. La suma de los resultados parciales proporciona el producto anterior.

 

DIVISIÓN:

 

En realidad, funciona igual que el de la multiplicación. Lo que hacemos es descomponer el dividendo en suma de las potencias de 10 correspondientes y distribuir:

 

827676 / 71 = (800000 + 20000 + 7000 + 600 + 70 + 6) / 71 = 800000/71 + 20000/71 + 7000/71 + 600/71 + 70/71 + 6/71. Luego cada término de esta suma se toma con tantos dígitos como el divisor, para que el cociente parcial sea una cifra entre 0 y 9, y el resto también. Los restos parciales se suman al siguiente divisor parcial desplazando éste una unidad en el papel para efectuar la multiplicación por la siguiente potencia de 10, y al final se obtiene el cociente y el resto sumados del resultado. No hay por qué agrupar de una en una cifras, se puede hacer de dos en dos, de tres en tres, o como se quiera. La notación es bastante engorrosa.

 

*Exemptus*

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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4) Estas ecuaciones se aplican a un sistema cartesiano local ,en donde el origen puede ser arbitrario, pero una vez determinado queda fijo y sirve para problemas en que la escala horizontal no es muy grande. Si queremos ampliar la escala ,entonces se debe usarla ecuación en coordenadas esféricas.

 

Y ahí me perdí. ¿Cuándo cambia el sistema?

Ah, ya veo. La derivación de las ecuaciones está bien, aunque la notación es confusa. Estás trabajando todo el tiempo en cartesianas, con lo cual obtienes tres ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para las correspondientes componentes del vector v. ¿Cuándo "cambia" el sistema? En realidad eso es arbitrario; lo que cabe preguntarse es cuál de los dos sistemas es válido en general. Evidentemente el esférico lo es, y no el cartesiano, ya que la Tierra no es plana a gran escala. Por lo tanto, físicamente se ha hecho una suposición incorrecta en algún momento. ¿Cuál es?

 

Evidentemente, que la coordenada z en cartesianas *es* la coordenada r en esféricas (matemáticamente, la reslación entre ambas es z = r cos ; pero date cuenta que en la aproximación local de "tierra plana", el ángulo polar es siempre cercano a cero, con lo cual r es aproximadamente lo mismo que z. Para usar estas ecuaciones en esféricas habría que plantear que tanto g como el rozamiento varían con r, introduciendo la dependencia angular correspondiente. A medida que aumentas la escala, cualquier cálculo con las ecuaciones cartesianas va a empezar a dar resultados incorrectos por culpa de esto. Habría que haber planteado la ecuación diferencial de la que se parte en coordenadas esféricas para obtener el resultado correcto.

 

*Exemptus*

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