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exemptus

Resolución de consultas (Física / Matemáticas) (hilo antiguo)

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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¿Hay alguna razón para incluir infinito dentro de los números reales? ¿A/0 es infinito o es más correcto decir que no está definido?

Te voy a contar más de lo que necesitas saber sobre el tema.

 

Piensa en cómo se definen los números reales (aunque puede que no lo sepas, puesto que no es un asunto que se toque a menudo). R se define como una estructura algebraica con ciertas propieddaes topológicas adicionales, que para el caso no interesan. lo que interesa es la estructura algebraica, puesto que delimita las leyes de composición interna que posee (es decir, las operaciones). De paso hago un repaso a las estructiras algebraicas básicas.

 

Un semigrupo es un conjunto junto con una operación interna asociativa, que denotamos *. Nada más. La operación no tiene por qué ser conmutativa.

 

Si la operación posee un elemento neutro (es decir, un elemento e tal que para todo x tenemos e*x = x*e = x), entonces el semigrupo se denomina un monoide.

 

Un grupo es un monoide en el que todo elemento posee un simétrico (para todo x hay un x' tal que x*x' = x'*x = e). Un grupo en el que la operación interna es conmutativa se denomina un grupo abeliano, y la operación se denota por el símbolo +, el elemento neutro se denomina 0, y el simétrico de x se denota por -x, igual que en los números reales.

 

Un anillo es un grupo abeliano que posee una segunda operación interna (denotada como producto en lugar de suma) que es asociativa y distributiva respecto de la suma.

 

Un anillo que sea un monoide con respecto al producto (es decir, en el que el producto tenga elemento neutro) se denomina un anillo con uno. Al elemento neutro del producto se le llama 1. No tiene por qué ser distinto del 0, aunque en ese caso el anillo es trivial porque no tiene más elementos.

 

Un anillo con uno en el que todo elemento salvo el 0 tenga simétrico se denomina un anillo de división. Los elementos simétricos con respecto al producto se llaman inversas. Así pues, en un anillo de división todo elemento tiene inversa salvo el 0. La inversa de x es un elemento x' tal que xx' = x'x = 1.

 

Un cuerpo es un anillo de división con el producto conmutativo. Por lo tanto, tiene doble estructura de grupo: es un grupo abeliano con la suma, y si le quitamos el 0, es un grupo abeliano con el producto. Hay que excluir el cero porque en la definición de anillo de división no se exige que el 0 tenga inversa.

 

Los anillos de división se llaman así porque en ellos podemos dividir, ya que todo elemento tiene inversa salvo el cero. Por lo tanto, se puede definir una operación a/b como el producto de a por la inversa de b, siempre que b no sea cero, ya que su invera no está definida. Los anillos de división se comportan esencialmente de una manera parecida a los números racionales, salvo que el producto no tiene por qué ser conmutativo.

 

Pues bien, R es un cuerpo: un anillo de división conmutativo. También tiene una relación de orden. Por lo tanto, el 0 no tiene inversa definida. Esto no es un problema desde el punto de vista algebraico porque el conjunto de reglas es consistente. Por lo tanto, la respuesta verdaderamente correcta es "no está definida esa operación".

 

Ahora bien, cuando hacemos uso de la estructura topológica de R (es decir, del análisis y las nociones de límites y continuidad), observamos que el límite cuando x tiende a cero desde valores positivos de la función f(x) = 1/x se hace indefinidamente grande, y el límite cuendo x tiende a cero desde valores negativos se hace indefinidamente grande y con signo negativo. Entonces se puede definir de modo arbitrario lo siguiente: en lugar de trabajar en R, trabajamos en un conjunto ampliado que voy a llamar R*, que consta de dos puntos más. Es decir, R* = R U {p} U {p'}, donde hay que definir cómo encajan estos dos puntos en la estructura algebraica para que R* siga siendo una estructura topológica conveniente. Pues bien, resulta que si definimos las cosas así, para todo número real x:

 

x+p = p

x-p = p'

x+p' = p'

x-p' = p

x/p = x/p' = 0

xp = p (si x>0), xp = p' (si x

xp' = p' (si x>0), xp' = p (si x

p+p = pp = p'p' = p

p'+p' = p'p = p'

p'

 

Entonces resulta que R* es un conjunto ordenado en el que todo subconjunto tiene supremo e ínfimo (propiedad que no posee R). La tradición consiste en llamar "más infinito" a p y "menos infinito" a p', pero son nombres arbitrarios cualesquiera y no expresan nada. p y p' son dos puntos en R* y no pertenecen a R. Topológicamente, solemos "visualizar" R como una recta infinita, lo cual plantea dificultades psicológicas a la hora de "visualizar" R*, pero se puede demostrar que R es representable también como un intervalo abierto, son lo cual R* es representable como un intervalo cerrado, siend p y p' los extremos del intervalo.

 

Hay un teorema en topología que dice que todo espacio topológico se puede extender añadiéndole puntos de tal manera que sea compacto. Esto no importa aquí lo que quiere decir exactamente, pero baste decir que existen siempre al menos dos maneras de hacer esto: una minimal, en la que basta añadir un solo punto al espacio (compactificación de Aleksandrov) y otra maximal, en la que se le añaden todos los puntos posibles de tal modo que no se pueden añadir más sin que deje de ser compacto (compactificación de Stoneech). Pues bien, la compactificación de Aleksandrov de R pierde la estructura de orden, que es necesaria para el cálculo diferencial e integral. Así que no podemos añadir un solo punto como inversa arbitraria del cero (digamos una especie de "infinito sin signo") porque el conjunto resultante no puede compatibilizar la estructura de orden con la estructura algerbraica. Hay que añadir al menos dos puntos, y eso es lo que hacemos.

 

Nota que en el cuerpo de los números complejos C esto no sucede. Como aquí no existe una estructura de orden (de hecho se puede demostrar que no es posible ordenar los números complejos de tal modo que se mantenga una estructura de cuerpo compatible), entonces la compactificación de Aleksandrov de C (que llamamos C*) sí que basta para definir una inversa del cero. Esta inversa se suele llamar "infinito" a secas, y el espacio C* (también llamado esfera de Riemann, por razones en las que no vamos a entrar) es muy útil en análisis de variable compleja.

 

Resumiendo:

 

1. Los infinitos (hay dos dependiendo del signo) no son números reales, sino elementos de una extensión ampliada de R.

 

2. La operación de división por cero no está definida en R pero sí en R*.

 

3. La operación de división por cero en C sólo requiere de un punto infinito sin signo en C* debido a que no existe la estructura de orden.

 

*Exemptus*

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

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...

 

Muchísimas gracias, me ha quedado claro. Nunca me he sentido cómodo cuando he estudiado este tipo de cosas, creo que por eso no terminaba de enteder. Sabiendo estas cuestiones que planteas ya no tengo ninguna duda.

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Aeo Gwyn, Señor de la Ceniza

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semigrupo...grupo abeliano...anillo...cuerpo... argggg mis ojos!!!! escuece!!! escuece!!!!

Perdón pero es que acabé tan harto del Álgebra en la carrera... es lo que tiene tener un profesor que el primer día de clase te decía que por encima de él no hay nadie excepto Dios, que se comentaba que tenía una pistola en su despacho y que tiene a media familia metida en la universidad...

Por cierto, me tengo que leer las 3 últimas páginas que he visto por ahí un tocho que parece muy interesante.

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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Por cierto, me tengo que leer las 3 últimas páginas que he visto por ahí un tocho que parece muy interesante.

Ah sí, el de mecánica cuántica. Puro arte. Yo incluso lo he impreso XD

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bizarre_dark HARENA TIGRIS

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No se si este es el lugar adecuado, pero tampoco he encontrado ninguno mejor xD y no me apetece crear un hilo nuevo sólo por esto.

El caso es que uno de los profesores de la carrera nos ha puesto hoy una especie de enigma [porque se va una semana a Australia, para que pensemos mientras está fuera xD] que salio hace unos años en una revista científica, según cuenta él.

La pregunta básicamente venía a decir si se podía explicar de una manera más o menos argumentada el porque la imagen reflejada de los espejos genera un cambio en la naturaleza del que se refleja en la "horizontal" por decirlo de alguna manera, y sin embargo no así en la vertical. Es decir, porque cuando te miras en un espejo y levantas la mano derecha, la imagen reflejada levanta su mano izquierda y sin embargo de arriba a abajo te ves perfectamente igual y no te "inviertes" también.

En fin, a mi al principio me había parecido una pregunta algo absurda, simplemente es que los espejos son así xDD pero debe de haber algo que se me escapa.

Y porque los espejos cóncavos si que te reflejan al revés? esta pregunta es mía ^^u

La asignatura es "Ampliación a la cristalografía" por si le interesa a alguien.

Salu2!

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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¿Podeis confirmarme que...

 

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teniendo en cuenta que, log k=2,3 ??

log(sqrt(k)/100) = log(sqrt(k)) - log(100) = (1/2)log(k) - 2 = (1/2)2,3 - 2 = 1,15 - 2 = -0,85


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exemptus PARIETINAE UMBRA

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La pregunta básicamente venía a decir si se podía explicar de una manera más o menos argumentada el porque la imagen reflejada de los espejos genera un cambio en la naturaleza del que se refleja en la "horizontal" por decirlo de alguna manera, y sin embargo no así en la vertical. Es decir, porque cuando te miras en un espejo y levantas la mano derecha, la imagen reflejada levanta su mano izquierda y sin embargo de arriba a abajo te ves perfectamente igual y no te "inviertes" también.

La pregunta es deliberadamente tramposa. No tiene sentido utilizar las palabras "invertir", "izquierda" y "derecha" en ese contexto si previamente no se define lo que significan de un modo preciso. Pero, una vez que uno las define, descubre que en realidad no existe tal supuesta inversión. Esta famosa cuestión es de Martin Gardner y aparece por promera vez en su libro The Ambidextrous Universe (Izquierda y Derecha en el Cosmos), en los tres primeros capítulos. Asombrosamente, para ser una cuestión puramente semántica, se ha escrito un porrón de farfolla sobre la misma; ver por ejemplo este artículo.

 

*Exemptus*

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Battle of the atlantic PARIETINAE UMBRA

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¿Podeis confirmarme que...

 

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teniendo en cuenta que, log k=2,3 ??

log(sqrt(k)/100) = log(sqrt(k)) - log(100) = (1/2)log(k) - 2 = (1/2)2,3 - 2 = 1,15 - 2 = -0,85

 

Gracias, eso es medio punto mas que tengo en el examen :)

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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En un modelado Raster, ¿cuál es la diferencia entre una entidad continua y una discreta?

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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En un modelado Raster, ¿cuál es la diferencia entre una entidad continua y una discreta?

Eso no va en este hilo, me temo.

 

*Exemptus*

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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Qué lástima... si no sabes tú no creo que sepa mucha gente, hay muy poco movimiento sobre este tema en el foro, ya he preguntado una que otra vez.

Bueno, vamos a una pregunta más matematizable entonces:

Para un mejoramiento radiométrico una alteración al contraste puede estar dada por la expansión lineal:

ND'i = [(NDi - NDmin) / (NDmax - NDmin)] * 255

Siendo ND = Nivel digital

Pregunta algo tonta pero bueno... no me queda muy claro porque necesariamente es 255 (supongo que 128 + 128 -1 ) pero no me queda claro el término si es que tengo que usarlo para todos los ejercicios.

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Para un mejoramiento radiométrico una alteración al contraste puede estar dada por la expansión lineal:

 

ND'i = [(NDi - NDmin) / (NDmax - NDmin)] * 255

 

Siendo ND = Nivel digital

 

Pregunta algo tonta pero bueno... no me queda muy claro porque necesariamente es 255 (supongo que 128 + 128 -1 ) pero no me queda claro el término si es que tengo que usarlo para todos los ejercicios.

Sí, es siempre la misma escala para todos los ejercicios. El porqué es sencillo: fíjate que el término racional establece una escala de 0 a 1 (es una Transformación de Möbius normalizada a la unidad), de modo que multiplicar por 255 establece una escala de 0 a 255. Pues bien, estos valores son justo los que caben en 8 bits (2^8 - 1). Esto se hace así porque la representación gráfica de un contraste radiométrico es entonces inmediata de implementar en un computador, asignando cada valor a un nivel de escala de grises, por ejemplo, o incluso a una componente RGB de cada pixel.

 

*Exemptus*

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selfyn IGNIS EXCUBITOR

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vida restante: 100%
Buenas, es la primera vez que pregunto aqui a si que ahi va mi problema:

Decimos que una matriz cuadrada es magica de suma K cuando la suma de los elementos de cada fila, así como los de cada columna y los de las dos diagonales es, en todos los casos, igual a K.
¿Cuánto vale K si una matriz mágica es antisimétrica?
Halla todas las matrices mágicas antisimétricas de orden 3.

Gracias.

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Sir Porthos Aldia, Erudito del Primer Pecado

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vida restante: 75%

Para un mejoramiento radiométrico una alteración al contraste puede estar dada por la expansión lineal:

 

ND'i = [(NDi - NDmin) / (NDmax - NDmin)] * 255

 

Siendo ND = Nivel digital

 

Pregunta algo tonta pero bueno... no me queda muy claro porque necesariamente es 255 (supongo que 128 + 128 -1 ) pero no me queda claro el término si es que tengo que usarlo para todos los ejercicios.

El porqué es sencillo: fíjate que el término racional establece una escala de 0 a 1 (es una Transformación de Möbius normalizada a la unidad), de modo que multiplicar por 255 establece una escala de 0 a 255. Pues bien, estos valores son justo los que caben en 8 bits (2^8 - 1).

 

*Exemptus*

 

Aaah es con esa lógica. Con razón caben justos. Ya veo, gracias

 

Voy denuevo:

 

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Imagen Enviada

 

Son de correcciones topográficas, creo que las he implementado bien al menos el ejercicio que mandaron. Es un lolazo tremendo porque lo hice igual al ejemplo y me ha salido la imagen cortada, algo habré hecho mal X-D

 

Imagen Enviada

 

Pero en fin, no voy a preguntar de eso. Es los términos que he encerrado en un círculo. No sé bien a qué van en esos casos. Yo no estudio ingenieria así que no me manejo bien en términos aplicados... al menos estos sé desplegarlos pero no entiendo muy bien qué quieren decir en esos casos.

 

He tirado un rato del google y he encontrado al menos el Slope PI

 

Imagen Enviada

 

De figurármelo y saber qué es lo que voy a ver en una imagen satelital lo tengo claro, pero de saber qué es fisicamente no tengo idea.

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