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exemptus

Resolución de consultas (Física / Matemáticas) (hilo antiguo)

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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vida restante: 100%

No se, se me ocurre un pensamiento. ¿Y si a la escala macroscópica a la que vivimos los humanos todo hecho es predeterminado? Me refiero, igual que exemptus hablaba de que en un montón de átomos de Uranio no sabes cual va a decaer, pero sabes (con más o menos certeza) cual es el número de ellos que van a decaer, ¿podría el demonio de Laplace predecir un futuro macroscópico aunque no pueda predecir la mecánica cuántica?

Hay un problema adicional, incluso dejando de lado la naturaleza cuántica de las cosas. El demonio de Laplace debería conocer los valores de las variables con precisión infinita, puesto que si no le sería imposible predecir nada en muchos casos debido a la fundamental inestabilidad macroscópica de los puntos críticos de los sistemas dinámicos ante las condiciones iniciales. Dicho en palabras menos técnicas: caos.

 

Casi cualquier sistema dinámico no lineal (en la práctica, todos los interesantes al menos) es susceptible de presentar régimen caótico en su comportamiento para determinados conjuntos de estados. El caos es un fenómeno puramente macroscópico (habría que matizar esto bastante, pero eso es material para otra ocasión), y la evolución temporal de todo sistema, aunque sea perfectamente calculable en todo momento conocidas las ecuaciones que definen el estado del sistema en todo instante, resulta en la práctica imposible de calcular a menos que las condiciones iniciales se especifiquen de manera exacta para determinados conjuntos de estados iniciales. Así, aunque el comportamiento sea completamente determinista (queriendo decir aquí con esto que no hay aleatoriedad involucrada), la no linealidad de cualquier sistema que presente ciertas propiedades fáciles de cumplir hace imposible la determinación absoluta del estado futuro para *todos* los conjuntos de estados iniciales.

 

*Exemptus*

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Tempux Gwyn, Señor de la Ceniza

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No se, se me ocurre un pensamiento. ¿Y si a la escala macroscópica a la que vivimos los humanos todo hecho es predeterminado? Me refiero, igual que exemptus hablaba de que en un montón de átomos de Uranio no sabes cual va a decaer, pero sabes (con más o menos certeza) cual es el número de ellos que van a decaer, ¿podría el demonio de Laplace predecir un futuro macroscópico aunque no pueda predecir la mecánica cuántica?

Hay un problema adicional, incluso dejando de lado la naturaleza cuántica de las cosas. El demonio de Laplace debería conocer los valores de las variables con precisión infinita, puesto que si no le sería imposible predecir nada en muchos casos debido a la fundamental inestabilidad macroscópica de los puntos críticos de los sistemas dinámicos ante las condiciones iniciales. Dicho en palabras menos técnicas: caos.

 

Casi cualquier sistema dinámico no lineal (en la práctica, todos los interesantes al menos) es susceptible de presentar régimen caótico en su comportamiento para determinados conjuntos de estados. El caos es un fenómeno puramente macroscópico (habría que matizar esto bastante, pero eso es material para otra ocasión), y la evolución temporal de todo sistema, aunque sea perfectamente calculable en todo momento conocidas las ecuaciones que definen el estado del sistema en todo instante, resulta en la práctica imposible de calcular a menos que las condiciones iniciales se especifiquen de manera exacta para determinados conjuntos de estados iniciales. Así, aunque el comportamiento sea completamente determinista (queriendo decir aquí con esto que no hay aleatoriedad involucrada), la no linealidad de cualquier sistema que presente ciertas propiedades fáciles de cumplir hace imposible la determinación absoluta del estado futuro para *todos* los conjuntos de estados iniciales.

 

*Exemptus*

 

Que es el demonio de Laplace?? :o


"The desire of knowledge shapes the man"

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Que es el demonio de Laplace?? :o

Una construcción mental, usada en filosofía. Ver aquí.

 

*Exemptus*

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Tempux Gwyn, Señor de la Ceniza

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Que es el demonio de Laplace?? :o

Una construcción mental, usada en filosofía. Ver aquí.

 

*Exemptus*

 

ok no conocia este tipo de construcciones, y me estaba imaginando algo parecido al "demonio maligno" de DEscartes.

"The desire of knowledge shapes the man"

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Fox GAIA

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Al fin y al cabo lo interesante del planteamiento no era que hubiera una figura capaz de predecir el futuro, sino el hecho de que todo fuera predeterminado.

 

No se, se me ocurre un pensamiento. ¿Y si a la escala macroscópica a la que vivimos los humanos todo hecho es predeterminado? Me refiero, igual que exemptus hablaba de que en un montón de átomos de Uranio no sabes cual va a decaer, pero sabes (con más o menos certeza) cual es el número de ellos que van a decaer, ¿podría el demonio de Laplace predecir un futuro macroscópico aunque no pueda predecir la mecánica cuántica?

 

E incluso aunque no interviniera el fenómeno del caos que menciona Exemptus, veo poco probable que la mente humana se rija por las leyes macroscópicas, que nos son más familiares. Al fin y al cabo el cerébro es pura electroquímica.

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yamakasy Sir Alonne

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Exe, hoy te traigo una algo distinta, a ver qué tal.

Proposición: todos los matriculados de álgebra de este año sacarán la misma nota.

demostración: Razonaremos por inducción sobre la cantidad n (n pertenece a los naturales sin el cero) de matriculados de álgebra de este año.
1) Base de la inducción (n=1): Si tenemos un único matriculado se verifica la propiedad.
2) Paso de inducción (de n a n+1): Suponemos que hay n+1 matriculados de álgebra, representados por {a1, . . . , an, an+1} (lease la cursiva como subíndices). Como que {a1, . . . , an} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que todos sacarán la misma nota. Pero también, como {a2, . . . , an, an+1} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y razonar que sacarán la misma nota. Finalmente, como, por ejemplo: an pertenece a {a1, . . . , an} (intersección con) {a2, . . . , an, an+1} podemos concluir que todos los n+1 matriculados sacarán la misma nota.

- Dónde está el error en esta demostración?





Saludos :)

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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Proposición: todos los matriculados de álgebra de este año sacarán la misma nota.

 

demostración: Razonaremos por inducción sobre la cantidad n (n pertenece a los naturales sin el cero) de matriculados de álgebra de este año.

1) Base de la inducción (n=1): Si tenemos un único matriculado se verifica la propiedad.

2) Paso de inducción (de n a n+1): Suponemos que hay n+1 matriculados de álgebra, representados por {a1, . . . , an, an+1} (lease la cursiva como subíndices). Como que {a1, . . . , an} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que todos sacarán la misma nota. Pero también, como {a2, . . . , an, an+1} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y razonar que sacarán la misma nota. Finalmente, como, por ejemplo: an pertenece a {a1, . . . , an} (intersección con) {a2, . . . , an, an+1} podemos concluir que todos los n+1 matriculados sacarán la misma nota.

La inducción la tengo bien fresquita. Yo diría que lo que marco en negrita es falso, no entiendo por qué dices que "como son n elementos, puedes aplicar la hipótesis de inducción". Lo que tienes que demostrar es:

 

P(0), P(1), P(2), ... , P(n) => P(n+1)

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yamakasy Sir Alonne

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Yo tampoco lo entiendo, por eso expongo aquí la duda :D El problema no lo he hecho yo, y de la correcta solución, dependo al 100%!!


Saludos ;)

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Proposición: todos los matriculados de álgebra de este año sacarán la misma nota.

 

demostración: Razonaremos por inducción sobre la cantidad n (n pertenece a los naturales sin el cero) de matriculados de álgebra de este año.

1) Base de la inducción (n=1): Si tenemos un único matriculado se verifica la propiedad.

2) Paso de inducción (de n a n+1): Suponemos que hay n+1 matriculados de álgebra, representados por {a1, . . . , an, an+1} (lease la cursiva como subíndices). Como que {a1, . . . , an} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que todos sacarán la misma nota. Pero también, como {a2, . . . , an, an+1} tiene n elementos, podemos aplicar la hipótesis de inducción y razonar que sacarán la misma nota. Finalmente, como, por ejemplo: an pertenece a {a1, . . . , an} (intersección con) {a2, . . . , an, an+1} podemos concluir que todos los n+1 matriculados sacarán la misma nota.

 

- Dónde está el error en esta demostración?

En que no se está aplicando el Teorema de Inducción Matemática correctamente.

 

Estudiar el caso n=1 *no aporta información alguna*. El primer paso de inducción debería ser probar el caso n=2, no el n=1. Esto es así porque la proposicion está postulando que todos los elementos de un conjunto son iguales, lo cual sólo tiene contenido si hay más de un elemento en el conjunto. Por supuesto que si supones que si la hipótesis es cierta para n elementos entonces también es cierta para n+1, ¡qué duda cabe! El problema es que *no es cierta para n=2*, que debería ser el primer paso de inducción. Que el caso n=2 sea el primer paso y no el n=1 viene determinado por el hecho de que la proposición a demostrar es una igualdad entre los elementos de un conjunto. La relación de igualdad es binaria (o más bien n-aria): el caso es que requiere dos argumentos al menos. El caso n=1 es una tautología, puesto que todo objeto es igual a sí mismo por la propiedad reflexiva de la relación de igualdad; esto es algo ya sabido, de modo que difícilmente puede aportar nada a la prueba. Una demostración correcta debería haber empezado con el paso n=2. El paso de inducción es correcto, pero lamentablemente el paso n=2 es falso (lógicamente), de modo que la proposición es en realidad falsa. Ésta es la respuesta correcta.

 

*Exemptus*

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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Dices que la inducción se ha aplicado correctamente, sin embargo yo no la he aprendido así. El principio de inducción dice que una proposición es cierta si:

 

1) P(0) (o en general P(inicial)) es cierta

 

2) Supuesta P(n) cierta, se cumple P(n+1)

 

El principio de inducción completa dice que una proposición es cierta si:

 

1) P(0) (o en general P(inicial)) es cierta

 

2) Supuestas P(1), P(2), ... , P(n) ciertas, se cumple (Pn+1)

 

Tengo claro por qué dices que la hipótesis inicial debe abarcar la identidad entre dos elementos, pero aún así no entiendo el razonamiento marcado en negrita en mi anterior mensaje.

 

Por supuesto que si supones que si la hipótesis es cierta para n elementos entonces también es cierta para n+1, ¡qué duda cabe!

No estoy de acuerdo. Quizás no te has explicado bien, pero una cosa es suponer la hipótesis de inducción, y otra muy distinta es demostrar que la proposición es cierta.

 

A ver si es posible que me aclares esta duda, que me entra en el temario de Cálculo, exe :-P

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Tengo claro por qué dices que la hipótesis inicial debe abarcar la identidad entre dos elementos, pero aún así no entiendo el razonamiento marcado en negrita en mi anterior mensaje.

 

Por supuesto que si supones que si la hipótesis es cierta para n elementos entonces también es cierta para n+1, ¡qué duda cabe!

No estoy de acuerdo. Quizás no te has explicado bien, pero una cosa es suponer la hipótesis de inducción, y otra muy distinta es demostrar que la proposición es cierta.

 

Creo que lo que ocurre es que estás confundiendo dos cosas aquí. En primer lugar, la proposición a demostrar es:

 

Proposición P1: "Para todo conjunto que tenga n elementos, resulta que todos sus elementos son iguales".

 

Entonces la hipótesis de inducción es "Si la proposición anterior es cierta para un número natural n>1, entonces es cierta para n+1". Afirmo que este enunciado concreto es cierto.

 

La demostración de que esto es cierto es la que aparece en el ejercicio: si numeramos los elementos como {a_1, ..., a_n, a_(n+1)}, entonces tanto {a_1, ..., a_n} como {a_2, ..., a_(n+1)} son conjuntos de n elementos; por lo tanto, son todos iguales. Ergo, a_1 = a_2 = ... = a_n = a_(n+1).

 

Esto no tiene vuelta de hoja, pero es un caso de ex falso sequitur quodlibet: se está deduciendo algo de una premisa que es falsa.

 

El problema que me parece que estás teniendo es que estás interpretando la proposición a demostrar como la siguiente:

 

Proposición P2: "Si todos los elementos de un conjunto A de cardinal n son iguales, entonces también son iguales cuando A tiene cardinal n+1".

 

Esto es falso, como es natural, y muy distinto de P1. Basta considerar A U {x}, donde x sea distinto de los elementos de A. Pero es que esta proposición no es la que se ha postulado en el problema. Lo que se ha postulado es "todos los elementos de cualquier conjunto de cardinal n son iguales". Bueno, si *esto* es cierto, entonces todos los elementos de cualquier conjunto de cardinal n+1 son iguales también.

 

Otra manera (más abstracta) de argumentar esto es que una proposición de la forma "P implica Q" es cierta automáticamente siempre que P sea falsa, y es el caso con P1. No es el caso con P2 porque *no siempre* es falsa: hay conjuntos de cardinal n con todos sus elementos iguales.

 

Por tanto el *paso* de inducción general se ha aplicado correctamente. Con esto quiero decir que el fallo de la demostración no está ahí. Está en la condición inicial, que no se ha probado. Tu enunciación de inducción completa es correcta salvo que donde dice P(inicial) debe decir P({conjunto de valores iniciales}).

 

Si tienes alguna duda al respecto, trata de probar por inducción la regla para la derivada formal del producto de dos funciones ((fg)' = f'g+fg'). Verás exactamente lo mismo que en el problema anterior.

 

*Exemptus*

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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Bueno, la verdad es que este caso no se parecía en nada a los ejercicios que he resuelto en Cálculo I y por eso quizás no he sabido abordarlo correctamente.

Yo siempre que utilizado las premisas que he mencionado antes, y las demostraciones que he hecho son igualdades notables del estilo:

- Suma de una progresión geométrica
- Suma de una progresión aritmética
- Término enésimo de la sucesión de Fibonacci

Nunca he aplicado inducción a un problema algebraico como este, y tomar la premisa "para un conjunto de n términos" me resultaba extraño. Pero bueno, le echaré un ojo a la regla de derivación, a ver si saco algo en claro.

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exemptus PARIETINAE UMBRA

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Bueno, la verdad es que este caso no se parecía en nada a los ejercicios que he resuelto en Cálculo I y por eso quizás no he sabido abordarlo correctamente.

Por supuesto. Esto es lo que pasa en la práctica. El principio de inducción es mucho más general que lo que estos ejemplos indican: por eso precisamente al estudiar solamente ejemplos particulares de aplicación donde todos se resuelven de la misma manera y de repente saltar a uno que requiere mayor generalidad es cuando surgen las dificultades.

 

La inducción es aplicable cuando la proposición P involucra operadores o relaciones de dependencia entre varios parámetros, no solamente uno. De hecho, existe un principio mucho más general, que es el que usamos los matemáticos y que, aunque abstracto, no da pie a este tipo de confusiones. Su formulación es la siguiente:

 

Principio de Inducción Transfinita:

Sea S un conjunto ordenado con la propiedad de que todo subconjunto de S tiene un elemento mínimo. Sea P(x) una proposición lógica aplicable al elemento x de S. Entonces, si es posible demostrar la proposición "si P(y) es cierta para todo y

 

*Exemptus*

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Vanish PRAESIDIUM VIGILO

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Bueno, yo quisiera preguntar una duda matemática en la que siempre que participo, nunca nos ponemos de acuerdo.

Si dividimos un número (al que llamaremos A) entre 0, ¿qué es lo correcto?

Siempre he creido que la división entre 0 no está definida, que no es lo mismo dividir algo entre 0 que el límite de una división A/x cuando x tiende a cero. Y que por lo tanto, lo correcto sería decir que A/0 no está definido.

Mucha gente dice que A/0 es infinito. Pero la última vez que vi esta discusión, que fue en otro foro, una persona que decía ser matemático dijo que el infinito se debería incluir dentro del conjunto de números reales y por lo tanto el resultado de A/0 es infinito.

El caso es que me fío más de exemptus, ¿Hay alguna razón para incluir infinito dentro de los números reales? ¿A/0 es infinito o es más correcto decir que no está definido?

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spuny Tan veloz, tan rápido...

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vida restante: 100%

[...]

También tengo curiosidad por saber lo que opina exe al respecto. Yo en principio pienso como tú, que la división por cero no está definida, lo mucho que podemos hallar son sus límites laterales, que tenderán a menos infinito y a más infinito.

 

Lo único que puedo aportar es que la recta real se define como el conjunto de todos los números reales, y la recta real ampliada se define como el conjunto de todos los números reales, infinito y menos infinito.

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